Cálculo Ejemplos

${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ por ${(1 + x)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en ${(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2}$ por ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de ${(1 + x)}^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(1 + x)}^{2} \frac{d y}{d x}}{{(1 + x)}^{2}} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(1 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 + y)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combinar.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de ${(1 + y)}^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 + y)}^{2}}{{(1 + y)}^{2} {(1 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(1 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 1 + y$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 + y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.4

Reescribe $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + y$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 1 + x$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve ${u_{2}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{- 2}$ con respecto a $u_{2}$ es $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.4

Reescribe $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x$ .

$- \frac{1}{1 + y} + C_{1} = - \frac{1}{1 + x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1 + y, 1 + x, 1$

Paso 3.1.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.1.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.1.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 3.1.5

El factor para $1 + y$ es $1 + y$ en sí mismo.

$(1 + y) = 1 + y$

$(1 + y)$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.1.6

El factor para $1 + x$ es $1 + x$ en sí mismo.

$(1 + x) = 1 + x$

$(1 + x)$ ocurre $1$ vez.

Paso 3.1.7

El MCM de $1 + y, 1 + x$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(1 + y) (1 + x)$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ por $(1 + y) (1 + x)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{1 + y} = - \frac{1}{1 + x} + K$ por $(1 + y) (1 + x)$ .

$- \frac{1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{1 + y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{1 + y} ((1 + y) (1 + x)) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- (1 + x) = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - x = - \frac{1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{1 + x}$ al numerador.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + y) (1 + x)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.3.1.1.2

Factoriza $1 + x$ de $(1 + y) (1 + x)$ .

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$- 1 - x = \frac{- 1}{1 + x} ((1 + x) (1 + y)) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 1 - x = - (1 + y) + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 - x = - 1 \cdot 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K ((1 + y) (1 + x))$

Paso 3.2.3.1.4

Expande $(1 + y) (1 + x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 (1 + x) + y (1 + x))$

Paso 3.2.3.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y (1 + x))$

Paso 3.2.3.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 \cdot 1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Paso 3.2.3.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.5.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + 1 x + y \cdot 1 + y x)$

Paso 3.2.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y \cdot 1 + y x)$

Paso 3.2.3.1.5.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K (1 + x + y + y x)$

Paso 3.2.3.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 - x = - 1 - y + K \cdot 1 + K (x) + K (y) + K (y x)$

Paso 3.2.3.1.7

Multiplica $K$ por $1$ .

$- 1 - x = - 1 - y + K + K x + K y + K y x$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$ .

$- 1 - y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- y + K + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1$

Paso 3.3.2.2

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$- y + K x + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K$

Paso 3.3.2.3

Resta $K x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y + K y + K y x = - 1 - x + 1 - K - K x$

Paso 3.3.2.4

Combina los términos opuestos en $- 1 - x + 1 - K - K x$ .

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Paso 3.3.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$- y + K y + K y x = - x + 0 - K - K x$

Paso 3.3.2.4.2

Suma $- x$ y $0$ .

$- y + K y + K y x = - x - K - K x$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $- y + K y + K y x$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \cdot - 1 + K y + K y x = - x - K - K x$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y \cdot - 1 + y K + K y x = - x - K - K x$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $y$ de $K y x$ .

$y \cdot - 1 + y K + y (K x) = - x - K - K x$

Paso 3.3.3.4

Factoriza $y$ de $y \cdot - 1 + y K$ .

$y \cdot (- 1 + K) + y (K x) = - x - K - K x$

Paso 3.3.3.5

Factoriza $y$ de $y \cdot (- 1 + K) + y (K x)$ .

$y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$

Paso 3.3.4

Divide cada término en $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ por $- 1 + K + K x$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Divide cada término en $y (- 1 + K + K x) = - x - K - K x$ por $- 1 + K + K x$ .

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 1 + K + K x$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- 1 + K + K x)}{- 1 + K + K x} = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} + \frac{- K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} + \frac{- K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{- 1 + K + K x} - \frac{K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- x - K}{- 1 + K + K x} - \frac{K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- x - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) - K - K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - K$ .

$y = \frac{- (x + K) - K x}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- K x$ .

$y = \frac{- (x + K) - (K x)}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- (x + K) - (K x)$ .

$y = \frac{- (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.7

Reescribe $- (x + K + K x)$ como $- 1 (x + K + K x)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.8

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) + K + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.9

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1) - 1 (- K) + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.10

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) + K x}$

Paso 3.3.4.3.2.11

Factoriza $- 1$ de $K x$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K) - (- K x)}$

Paso 3.3.4.3.2.12

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1 - K) - (- K x)$ .

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Paso 3.3.4.3.2.13

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 1 (x + K + K x)}{- 1 (1 - K - K x)}$

Paso 3.3.4.3.2.14

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x + K + K x}{1 - K - K x}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{x + K + K x}{K + K x}$