Cálculo Ejemplos

$y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $y \frac{d x}{d y} - 2 x = 3 y^{2} - 2$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d x}{d y}}{y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y^{2}}{y} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $y$ de $3 y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y^{1}} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.3.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{y (3 y)}{y \cdot 1} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = \frac{3 y}{1} + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.3.2.5

Divide $3 y$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2 x}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.4

Factoriza $x$ de $\frac{- 2 x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{- 2}{y} = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Paso 1.5

Reordena $x$ y $\frac{- 2}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{- 2}{y} x = 3 y + \frac{- 2}{y}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , donde $P (y) = \frac{- 2}{y}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 2}{y} d y}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 2}{y}$ .

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 2.2.3

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| y |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (y)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (y^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$y^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d x}{d y} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{y^{2}}$ y $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (\frac{- 2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} (- \frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} (\frac{2}{y} x) = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{2}{y}$ y $x$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{2 x}{y}$ .

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Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{2 x}{y}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y \cdot y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.5.2.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1} y^{2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.2.5.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{1 + 2}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.2.5.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{1}{y^{2}} (3 y) + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = 3 \frac{1}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.3.2

Combina $3$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y^{2}} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y \cdot y} y + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{- 2}{y}$

Paso 3.3.4

Combinar.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y}$

Paso 3.3.5

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.5.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 3.3.5.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2} y^{1}}$

Paso 3.3.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{2 + 1}}$

Paso 3.3.5.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{1 \cdot - 2}{y^{3}}$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} + \frac{- 2}{y^{3}}$

Paso 3.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d x}{d y}}{y^{2}} - \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] = \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}} x] d y = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} - \frac{2}{y^{3}} d y$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{y^{2}} x = \int \frac{3}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Paso 7.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Paso 7.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) + \int - \frac{2}{y^{3}} d y$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - \int \frac{2}{y^{3}} d y$

Paso 7.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - (2 \int \frac{1}{y^{3}} d y)$

Paso 7.6

Simplifica la expresión.

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Paso 7.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Paso 7.6.2

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Paso 7.6.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 7.6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Paso 7.6.3.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 \int y^{- 3} d y$

Paso 7.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2} y^{- 2} + C)$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Simplifica.

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Paso 7.8.1.1

Combina $y^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{y^{- 2}}{2} + C)$

Paso 7.8.1.2

Mueve $y^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 (\ln (| y |) + C) - 2 (- \frac{1}{2 y^{2}} + C)$

Paso 7.8.2

Simplifica.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - \frac{- 1}{y^{2}} + C$

Paso 7.8.3

Simplifica.

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Paso 7.8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) - - \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 7.8.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + 1 \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 7.8.3.3

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} x = 3 \ln (| y |) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 8.1.1

Resta $3 \ln (| y |)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 8.1.2

Resta $\frac{1}{y^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} = C$

Paso 8.1.3

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} x - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Paso 8.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.4.1

Combina $\frac{1}{y^{2}}$ y $x$ .

$\frac{x}{y^{2}} - 3 \ln (| y |) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Paso 8.1.4.2

Simplifica $- 3 \ln (| y |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{x}{y^{2}} - \ln ({| y |}^{3}) - \frac{1}{y^{2}} - C = 0$

Paso 8.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.1

Suma $\ln ({| y |}^{3})$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3})$

Paso 8.2.2

Suma $\frac{1}{y^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{y^{2}} - C = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}}$

Paso 8.2.3

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{y^{2}} = \ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Paso 8.4

Simplifica.

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Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{y^{2}} y^{2} = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = (\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\ln ({| y |}^{3}) + \frac{1}{y^{2}} + C) y^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Paso 8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 8.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y^{2} + C y^{2}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = \ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$

Paso 8.4.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.4.2.1.3.1

Reordena los factores en $\ln ({| y |}^{3}) y^{2} + 1 + C y^{2}$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1 + C y^{2}$

Paso 8.4.2.1.3.2

Mueve $1$ .

$x = y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + C y^{2} + 1$

Paso 8.4.2.1.3.3

Reordena $y^{2} \ln ({| y |}^{3})$ y $C y^{2}$ .

$x = C y^{2} + y^{2} \ln ({| y |}^{3}) + 1$