Cálculo Ejemplos

$(1 + e^{x} y + x e^{x} y) d x + (x e^{x} + 2) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + e^{x} y + x e^{x} y]$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{x} y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{x} y$ con respecto a $y$ es $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Paso 1.3.3

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x} y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [x e^{x} y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $x e^{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x e^{x} y$ con respecto a $y$ es $x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x} \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + e^{x} + x e^{x}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} + x e^{x}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} x + e^{x}$

Paso 1.5.3

Reordena los factores en $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x} + e^{x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x e^{x} + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.4

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x} + 0$

Paso 2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Suma $x e^{x} + e^{x}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x} x + e^{x}$

Paso 2.5.3

Reordena los factores en $e^{x} x + e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x e^{x} + e^{x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $x e^{x} + e^{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $x e^{x} + e^{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$x e^{x} + e^{x} = x e^{x} + e^{x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} + 2 d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = x e^{x} + 2$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y + g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(x e^{x} + 2) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(x e^{x} + 2) y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(x e^{x} + 2) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x} + 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.3.7

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.3.8

Suma $x e^{x} + e^{x}$ y $0$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 8.5.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + e^{x} y + x e^{x} y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Reordena los factores en $1 + e^{x} y + x e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x}$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.1

Resta $x y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x}$

Paso 9.1.2.2

Resta $y e^{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Paso 9.1.2.3

Combina los términos opuestos en $1 + y e^{x} + x y e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.3.1

Resta $x y e^{x}$ de $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} + 0 - y e^{x}$

Paso 9.1.2.3.2

Suma $1 + y e^{x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + y e^{x} - y e^{x}$

Paso 9.1.2.3.3

Resta $y e^{x}$ de $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Paso 9.1.2.3.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $1$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Paso 10.3

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = x + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = (x e^{x} + 2) y + x + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = x e^{x} y + 2 y + x + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} + 2 y + x + C$