Cálculo Ejemplos

$y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y (2 x^{2} - x y + 1)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (2 x^{2} - x y + 1)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = 2 x^{2} - x y + 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [2 x^{2} - x y + 1] + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} - x y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Como $2 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [- x y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.4

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x y$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + \frac{d}{d y} [1]) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x + 0) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.8

Suma $- x$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + (2 x^{2} - x y + 1) \cdot 1$

Paso 1.3.10

Multiplica $2 x^{2} - x y + 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- x) + 2 x^{2} - x y + 1$

Paso 1.4

Resta $x y$ de $y (- x)$ .

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Paso 1.4.1

Mueve $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - x y - x y + 1$

Paso 1.4.2

Resta $x y$ de $- x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} - 2 x y + 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x - y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.4

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Paso 2.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x^{2} - 2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x^{2} - 2 x y + 1 = 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x^{2} - 2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x - y$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x - y$ por $N$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 1 - 1}{x - y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y + 0}{x - y}$

Paso 4.3.2.2

Suma $2 x^{2} - 2 x y$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x - y}$

Paso 4.3.2.3

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} - 2 x y$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x - y}$

Paso 4.3.2.3.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x - y}$

Paso 4.3.2.3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (- y)$ .

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x - y$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x (x - y)}{x - y}$

Paso 4.3.3.2

Divide $2 x$ por $1$ .

$2 x$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 x d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int 2 x d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int x d x}$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 5.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1

Reescribe $e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$ como $e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2}} + C$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$μ (x, y) = e^{\frac{2}{2} x^{2}} + C$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$μ (x, y) = e^{1 x^{2}} + C$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$μ (x, y) = e^{x^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y (2 x^{2} - x y + 1) d x + (x - y) d y = 0$ por el factor integrador $e^{x^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y (2 x^{2} - x y + 1)$ por $e^{x^{2}}$ .

$y (2 x^{2} - x y + 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(y (2 x^{2}) + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 y x^{2} + y (- x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Paso 6.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(2 y x^{2} - y (x y) + y \cdot 1) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Paso 6.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$(2 y x^{2} - y (x y) + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1

Mueve $y$ .

$(2 y x^{2} - (y \cdot y) x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Paso 6.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(2 y x^{2} - y^{2} x + y) e^{x^{2}} d x + (x - y) d y = 0$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x - y$ por $e^{x^{2}}$ .

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x - y) e^{x^{2}} d y = 0$

Paso 6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}) d x + (x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = x e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d y + \int - y e^{x^{2}} d y$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C + \int - y e^{x^{2}} d y$

Paso 8.3

Dado que $- e^{x^{2}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- e^{x^{2}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} \int y d y$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y + C - e^{x^{2}} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 8.5

Simplifica.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 \cdot \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - 1 (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

Paso 8.6.2

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2}) e^{x^{2}} y^{2} + C$

Paso 8.6.3

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} e^{x^{2}} y^{2} + C$

Paso 8.6.4

Combina $e^{x^{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}}}{2} y^{2} + C$

Paso 8.6.5

Combina $y^{2}$ y $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$

Paso 8.7

Simplifica.

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Paso 8.7.1

Reordena los términos.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}) + C$

Paso 8.7.2

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - (\frac{1}{2} y^{2}) e^{x^{2}} + C$

Paso 8.7.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x e^{x^{2}} y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x e^{x^{2}} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$y (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$y (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$y (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.10

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x^{2}}$ .

$y (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.3.11

Multiplica $e^{x^{2}}$ por $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}}]$ .

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Paso 11.4.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.2

Combina $e^{x^{2}}$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.3

Como $- \frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 11.4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) - 2 \frac{y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.7

Combina $- 2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{- 2 y^{2}}{2} (e^{x^{2}} (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.8

Combina $e^{x^{2}}$ y $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.9

Combina $\frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2})}{2}$ y $x$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.10

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 11.4.10.1

Factoriza $2$ de $e^{x^{2}} (- 2 y^{2}) x$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.4.10.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.10.2.2

Cancela el factor común.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{2 (e^{x^{2}} (- y^{2}) x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.10.2.3

Reescribe la expresión.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + \frac{e^{x^{2}} (- y^{2}) x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.4.10.2.4

Divide $e^{x^{2}} (- y^{2}) x$ por $1$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + y e^{x^{2}} + e^{x^{2}} (- y^{2}) x + \frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 11.6.3

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + 2 e^{x^{2}} x^{2} y + e^{x^{2}} y - e^{x^{2}} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{2} y e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $2 x^{2} y e^{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}}$

Paso 12.1.2

Resta $y e^{x^{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x e^{x^{2}} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}}$

Paso 12.1.3

Suma $y^{2} x e^{x^{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Paso 12.1.4

Combina los términos opuestos en $2 y x^{2} e^{x^{2}} - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 x^{2} y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$ .

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Paso 12.1.4.1

Reordena los factores en los términos $2 y x^{2} e^{x^{2}}$ y $- 2 x^{2} y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - 2 e^{x^{2}} x^{2} y - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Paso 12.1.4.2

Resta $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ de $2 e^{x^{2}} x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} + 0 - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Paso 12.1.4.3

Suma $- y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y e^{x^{2}} - y e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Paso 12.1.4.4

Resta $y e^{x^{2}}$ de $y e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + 0 + y^{2} x e^{x^{2}}$

Paso 12.1.4.5

Suma $- y^{2} x e^{x^{2}}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - y^{2} x e^{x^{2}} + y^{2} x e^{x^{2}}$

Paso 12.1.4.6

Suma $- y^{2} x e^{x^{2}}$ y $y^{2} x e^{x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 15

Simplifica $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{1}{2} y^{2} e^{x^{2}} + C$ .

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{y^{2}}{2} e^{x^{2}} + C$

Paso 15.1.2

Combina $e^{x^{2}}$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$

Paso 15.2

Reordena los factores en $f (x, y) = x e^{x^{2}} y - \frac{e^{x^{2}} y^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x^{2}} - \frac{y^{2} e^{x^{2}}}{2} + C$