Cálculo Ejemplos

$(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{2} - 2 x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 2 x y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x y$ con respecto a $y$ es $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = 2 x$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 x + 2 y = 2 x$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $- 2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y^{2} - 2 x y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y^{2} - 2 x y$ por $M$ .

$\frac{2 x - (- 2 x + 2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - (- 2 x) - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - (2 y)}{y^{2} - 2 x y}$

Paso 4.3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 2 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Paso 4.3.2.4

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 x - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Paso 4.3.2.5

Factoriza $2$ de $4 x - 2 y$ .

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Paso 4.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) - 2 y}{y^{2} - 2 x y}$

Paso 4.3.2.5.2

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{y^{2} - 2 x y}$

Paso 4.3.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y^{2} - 2 x y}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y$ de $y^{2} - 2 x y$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y - 2 x y}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 x y$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y \cdot y + y (- 2 x)}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{2 (2 x - y)}{y (y - 2 x)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2 x - y$ y $y - 2 x$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - y)}{y (y - 2 x)}$

Paso 4.3.4.2

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{2 (- (- 2 x) - (y))}{y (y - 2 x)}$

Paso 4.3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 2 x) - (y)$ .

$\frac{2 (- (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $- (- 2 x + y)$ como $- 1 (- 2 x + y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (y - 2 x)}$

Paso 4.3.4.5

Reordena los términos.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Paso 4.3.4.6

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 1 (- 2 x + y))}{y (- 2 x + y)}$

Paso 4.3.4.7

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Paso 4.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Paso 4.3.6

Sustituye $y^{2} - 2 x y$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| y |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Paso 5.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y^{2} - 2 x y) d x + x^{2} d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y^{2} - 2 x y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(y^{2} - 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y^{2} - 2 x y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $y$ de $y^{2} - 2 x y$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot y - 2 x y}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 x y$ .

$\frac{y \cdot y + y (- 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y (- 2 x)$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y^{2}} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 6.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (y - 2 x)}{y \cdot y} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + x^{2} \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 6.6

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 2 x}{y} d x + \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{2}}{y^{2}} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x^{2} \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Paso 8.2

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Paso 8.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Paso 8.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = x^{2} \int y^{- 2} d y$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x^{2} (- y^{- 1} + C)$

Paso 8.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.5.1

Reescribe $x^{2} (- y^{- 1} + C)$ como $x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x^{2} (- \frac{1}{y}) + C$

Paso 8.5.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y} + g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{y}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $- \frac{1}{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{y}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{1}{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.3.5

Combina $\frac{- 2}{y}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{2 x}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} = \frac{y - 2 x}{y}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Resta $\frac{y - 2 x}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 x}{y} - \frac{y - 2 x}{y} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - (y - 2 x)}{y} = 0$

Paso 12.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y - (- 2 x)}{y} = 0$

Paso 12.1.1.3.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x - y + 2 x}{y} = 0$

Paso 12.1.1.4

Combina los términos opuestos en $- 2 x - y + 2 x$ .

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Paso 12.1.1.4.1

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + 0}{y} = 0$

Paso 12.1.1.4.2

Suma $- y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Paso 12.1.1.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 12.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y}{y} = 0$

Paso 12.1.1.5.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Paso 12.1.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $1$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Paso 13.3

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = x + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{y} + x + C$