Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2} e^{- y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (3 x^{- 2} e^{- y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

Paso 1.2.2

Combina $3$ y $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (x^{- 2} e^{- y})$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $e^{- y}$ de $x^{- 2} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{e^{- y}} (e^{- y} x^{- 2})$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$

Paso 1.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2.5

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ como $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Paso 2.3.4.2

Simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Paso 2.3.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{y} + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = - \frac{3}{x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- \frac{3}{x} + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (- \frac{3}{x} + K)$