Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x^{2} + x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{3}{x^{2} + x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{3}{x^{2} + x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{x^{2} + x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{2} + x} d x$

Paso 2.3.2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.3.2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Paso 2.3.2.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (x + 1)}$

Paso 2.3.2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.3.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.6.1.2

Divide $A (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.6.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.6.4

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 2.3.2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Paso 2.3.2.1.6.4.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Paso 2.3.2.1.7

Mueve $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Paso 2.3.2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.3.2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 2.3.2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Paso 2.3.2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.2.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Paso 2.3.2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Paso 2.3.2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Paso 2.3.2.3.3

Resuelve $B$ en $0 = 1 + B$ .

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Paso 2.3.2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Paso 2.3.2.3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Paso 2.3.2.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - 1 A = 1$

Paso 2.3.2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - 1, A = 1$

Paso 2.3.2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 2.3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

Paso 2.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = 3 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Paso 2.3.6

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.6.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.6.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.6.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.6.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.6.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.6.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 3 (\ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3}))$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$y + C_{1} = 3 \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$y + C_{1} = 3 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = 3 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$