Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $1 + y^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (1 + x^{2}))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1 + x^{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = (1 + x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 1 + x^{2} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ con respecto a $y$ es $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 + x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x + \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \int x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\arctan (y) + C_{1} = x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y = \tan (\frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y = \tan (\frac{x^{3}}{3} + x + K)$