Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \sin (x)$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \sin (x)}{x}$

Paso 1.3.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \sin (x)$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \sin (x)$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \sin (x)$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \sin (x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \sin (x)$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \sin (x)$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \sin (x)$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{2} \sin (x)$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{2} \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int x^{2} \sin (x) d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Paso 7.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Paso 7.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Paso 7.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Paso 7.6

La integral de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Paso 7.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.7.1

Reescribe $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ como $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Paso 7.7.2

Simplifica.

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Paso 7.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Paso 7.7.2.2

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{2} y = - x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- x^{2} \cos (x)}{x^{2}} + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $- \cos (x)$ por $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \cos (x) + \frac{2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \cos (x) + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.3

Para escribir $- \cos (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = - \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.4

Combina $- \cos (x)$ y $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$y = \frac{- \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- \cos (x) x^{2} + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.6

Factoriza $- 1$ de $- \cos (x) x^{2}$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.7

Factoriza $- 1$ de $2 x \sin (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (\cos (x) x^{2}) - (- 2 x \sin (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) + 2 \cos (x) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.9

Factoriza $- 1$ de $2 \cos (x)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.10

Factoriza $- 1$ de $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x)) - (- 2 \cos (x))$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) + C}{x^{2}}$

Paso 8.3.11

Factoriza $- 1$ de $C$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)}{x^{2}}$

Paso 8.3.12

Factoriza $- 1$ de $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x)) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Paso 8.3.13

Simplifica la expresión.

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Paso 8.3.13.1

Reescribe $- (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ como $- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)$ .

$y = \frac{- 1 (\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C)}{x^{2}}$

Paso 8.3.13.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$

Paso 8.3.13.3

Reordena los factores en $- \frac{\cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$ .

$y = - \frac{x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 2 \cos (x) - C}{x^{2}}$