Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$ , $y (0) = - 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int x d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$

Paso 5

Como $y$ es negativa en la condición inicial $(0, - 2)$ , solo considera $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ para obtener $K$ . Sustituye $0$ por $x$ y $- 2$ por $y$ .

$- 2 = - \sqrt{0^{2} + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{0^{2} + K} = - 2$ .

$- \sqrt{0^{2} + K} = - 2$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- \sqrt{0^{2} + K})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{0^{2} + K}$ como ${(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.2

Suma $0$ y $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.3

Aplica la regla del producto a $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.5

Multiplica ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.3.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$K^{1} = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.2.1.7

Simplifica.

$K = {(- 2)}^{2}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$K = 4$

Paso 7

Sustituye $4$ por $K$ en $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $4$ por $K$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$