Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = \frac{6}{x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{6}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{6}{x}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d x}{d t} = 6$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$x d x = 6 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int x d x = \int 6 d t$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 6 d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 6 t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 6 t + K$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (6 t + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (6 t + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (6 t + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 2 (6 t + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (6 t + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = 2 (6 t) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$x^{2} = 12 t + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{12 t + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $12 t + 2 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $12 t$ .

$x = \pm \sqrt{2 (6 t) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (6 t) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (6 t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (6 t + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2 (6 t + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2 (6 t + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2 (6 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (6 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (6 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (6 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (6 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (6 t + K)}$