Cálculo Ejemplos

$e^{y} (1 + x^{2}) d y - 2 x (1 + e^{y}) d x = 0$

Paso 1

Suma $2 x (1 + e^{y}) d x$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{y} (1 + x^{2}) d y = 2 x (1 + e^{y}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (e^{y} (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $1 + x^{2}$ de $e^{y} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} ((1 + x^{2}) e^{y}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + e^{y}} e^{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{1 + e^{y}}$ y $e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (2 x (1 + e^{y})) d x$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Paso 3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + x^{2}) (1 + e^{y})} (x (1 + e^{y})) d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $1 + e^{y}$ .

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Paso 3.5.1

Factoriza $1 + e^{y}$ de $(1 + x^{2}) (1 + e^{y})$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} (x (1 + e^{y})) d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $1 + e^{y}$ de $x (1 + e^{y})$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{(1 + e^{y}) (1 + x^{2})} ((1 + e^{y}) x) d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2}{1 + x^{2}} x d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{2}{1 + x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{e^{y}}{1 + e^{y}} d y = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Entonces $d u_{1} = e^{y} d y$ , de modo que $\frac{1}{e^{y}} d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 + e^{y}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $1 + e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{y}]$

Paso 4.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 4.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 4.2.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Paso 4.2.1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 + e^{y}$

Paso 4.2.1.1.4

Suma $0$ y $e^{y}$ .

$e^{y}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + e^{y}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) + C_{1} = \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + e^{y} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C$