Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $y = e^{r x}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 2 \frac{d y}{d x} - 3 y = 5$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$r^{2} e^{r x} - 2 (r e^{r x}) - 3 e^{r x} = 5$

Paso 2.4

Elimina los paréntesis.

$r^{2} e^{r x} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Paso 2.5

Factoriza $e^{r x}$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 2 r e^{r x} - 3 e^{r x} = 5$

Paso 2.5.2

Factoriza $e^{r x}$ de $- 2 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Paso 2.5.3

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 2 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) - 3 e^{r x} = 5$

Paso 2.5.4

Factoriza $e^{r x}$ de $- 3 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3 = 5$

Paso 2.5.5

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} - 2 r) + e^{r x} \cdot - 3$ .

$e^{r x} (r^{2} - 2 r - 3) = 5$

Paso 2.6

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} - 2 r - 3 = 5$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} - 2 r - 3 - 5 = 0$

Paso 3.2

Resta $5$ de $- 3$ .

$r^{2} - 2 r - 8 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $r^{2} - 2 r - 8$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(r - 4) (r + 2) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r - 4 = 0$

$r + 2 = 0$

Paso 3.5

Establece $r - 4$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.5.1

Establece $r - 4$ igual a $0$ .

$r - 4 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 4$

Paso 3.6

Establece $r + 2$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.6.1

Establece $r + 2$ igual a $0$ .

$r + 2 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 2$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r - 4) (r + 2) = 0$ verdadera.

$r = 4, - 2$

Paso 4

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$y_{1} = e^{4 x}$

$y_{2} = e^{- 2 x}$

Paso 5

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$y = c_{1} e^{4 x} + c_{2} e^{- 2 x}$