Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{3}}}{x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3.2

Combinar.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3} x}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} (\frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combinar.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} x$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} (x)}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{1 \cdot 1}{y^{3} x}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x}$

Paso 1.4.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$y^{3} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{4} = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Paso 3.3

Simplifica $4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$y^{4} = \ln ({| x |}^{4}) + 4 C$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln ({| x |}^{4}) + 4 C}$

Paso 3.5

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + 4 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt[4]{\ln (x^{4}) + C}$