Cálculo Ejemplos

$(2 x + 1) d y + y^{2} d x = 0$

Paso 1

Resta $y^{2} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(2 x + 1) d y = - y^{2} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2 x + 1$ de $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (y^{2})} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} (- y^{2}) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(2 x + 1) y^{2}}$ al numerador.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{(2 x + 1) y^{2}} y^{2} d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y^{2}$ de $(2 x + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} (2 x + 1)} y^{2} d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{2 x + 1} d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u = 2 x + 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u = 2 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.2.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 4.3.2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ .

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Paso 5.1.1

Reordena $\ln (| 2 x + 1 |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - (\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Paso 5.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Paso 5.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 5.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 5.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Paso 5.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Reordena los factores en $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$

Paso 5.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.4.1

Reescribe la ecuación como $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 1$

Paso 5.4.2

Factoriza $y$ de $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ .

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $y$ de $- y \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C y = - 1$

Paso 5.4.2.2

Factoriza $y$ de $C y$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C = - 1$

Paso 5.4.2.3

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Paso 5.4.3

Reescribe $- 1 \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ como $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$

Paso 5.4.4

Divide cada término en $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ por $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ y simplifica.

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Paso 5.4.4.1

Divide cada término en $y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 1$ por $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 5.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.4.2.1

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 5.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Paso 5.4.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) + C}$

Paso 5.4.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)}$

Paso 5.4.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Paso 5.4.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.4.3.5.1

Reescribe $- (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ como $- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C)}$

Paso 5.4.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Paso 5.4.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Paso 5.4.4.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) - C}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{1}{\ln ({| 2 x + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$