Cálculo Ejemplos

$4 x - 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $4 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$ por $- 2 y$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 2 y \frac{d y}{d x} = - 4 x$ por $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y \frac{d y}{d x}}{- 2 y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y \frac{d y}{d x}}{- 2 y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Paso 1.1.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Paso 1.1.2.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 4 x}{- 2 y}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $- 2$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 y}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 (y)}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (2 x)}{- 2 y}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$y d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 K$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$