Cálculo Ejemplos

$y'''' = x y + x - 2 y - 2$ para $y (0) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d x} = (x y + x) - 2 y - 2$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 1) - 2 (y + 1)$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 1) (x - 2)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x - 2))$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 2$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x - 2) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x - 2 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 2 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x - 2 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 2 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 2 d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 2 x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C} = | y + 1 |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C}$

Paso 3.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Paso 3.3.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$

Paso 3.3.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C} - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} e^{C} - 1$

Paso 4.2

Reordena $e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ .

$1 = C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$ .

$C e^{\frac{0^{2}}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$C e^{\frac{0}{2} - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Paso 6.2.1.2

Divide $0$ por $2$ .

$C e^{0 - 2 \cdot 0} - 1 = 1$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$C e^{0 + 0} - 1 = 1$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$C e^{0} - 1 = 1$

Paso 6.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C \cdot 1 - 1 = 1$

Paso 6.2.4

Multiplica $C$ por $1$ .

$C - 1 = 1$

Paso 6.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 1 + 1$

Paso 6.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$C = 2$

Paso 7

Sustituye $2$ por $C$ en $y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $2$ por $C$ .

$y = 2 e^{\frac{x^{2}}{2} - 2 x} - 1$