Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = e^{x^{2}}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2 x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 x d x}$

Paso 1.2

Integra $- 2 x$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x^{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} e^{x^{2}}$

Paso 2.3

Multiplica $e^{- x^{2}}$ por $e^{x^{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2} + x^{2}}$

Paso 2.3.2

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{0}$

Paso 2.4

Simplifica $e^{0}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$

Paso 2.5

Reordena los factores en $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 1$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 1$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 1$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x^{2}} y = \int d x$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x^{2}} y = x + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- x^{2}} y = x + C$ por $e^{- x^{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- x^{2}} y = x + C$ por $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x^{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$