Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de Bernoulli.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} + 6 y = 3 x y^{\frac{4}{3}}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = \frac{3 x y^{\frac{4}{3}}}{x}$

Paso 1.4

Divide $3 y^{\frac{4}{3}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6 y}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{6 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{6}{x} = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$

Paso 2

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{\frac{4}{3}}$ .

$v = y^{- \frac{1}{3}}$

Paso 3

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- 3}$

Paso 4

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- 3}$

Paso 5

Calcula la derivada de $v^{- 3}$ con respecto a $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la derivada de $v^{- 3}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 3}]$

Paso 5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{3}}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v^{3}$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

Paso 5.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{{(v^{3})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{3})}^{2}$ .

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Paso 5.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{3 \cdot 2}}$

Paso 5.4.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y' = \frac{v^{3} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Paso 5.4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v^{3} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Paso 5.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.4.1

Multiplica $v^{3}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Paso 5.4.4.2

Resta $\frac{d}{d x} [v^{3}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Paso 5.4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{3}]}{v^{6}}$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 5.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Paso 5.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y' = - \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Paso 5.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]}{v^{6}}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $v^{2}$ y $v^{6}$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $v^{2}$ de $3 v^{2} \frac{d}{d x} [v]$ .

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{6}}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $v^{2}$ de $v^{6}$ .

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

Paso 5.6.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{v^{2} (3 \frac{d}{d x} [v])}{v^{2} v^{4}}$

Paso 5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{3 \frac{d}{d x} [v]}{v^{4}}$

Paso 5.7

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{3 v'}{v^{4}}$

Paso 6

Sustituye $- \frac{3 v'}{v^{4}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- 3}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + \frac{6}{x} y = 3 y^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{3 v'}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$

Paso 7

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ por $- \frac{v^{4}}{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 7.1.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} + \frac{6}{x} v^{- 3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ por $- \frac{v^{4}}{3}$ .

$- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}}$ al numerador.

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- \frac{v^{4}}{3}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{v^{4}}{3}$ al numerador.

$\frac{- 3 \frac{d v}{d x}}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 3 \frac{d v}{d x}$ .

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- \frac{d v}{d x})}{v^{4}} \cdot \frac{- v^{4}}{3} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (- v^{4}) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.2

Cancela el factor común de $v^{4}$ .

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Paso 7.1.1.2.1.2.1

Factoriza $v^{4}$ de $- v^{4}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{4}} (v^{4} \cdot - 1) + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.4

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{6}{x} v^{- 3} (- \frac{v^{4}}{3}) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} v^{- 3} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{1}{v^{3}} \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.7

Multiplica $\frac{1}{v^{3}}$ por $\frac{6}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1.2.1.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{v^{3} x}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 6}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.8.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 (- 2)}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{3 \cdot - 2}{v^{3} x} \cdot \frac{v^{4}}{3} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.9

Cancela el factor común de $v^{3}$ .

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Paso 7.1.1.2.1.9.1

Factoriza $v^{3}$ de $v^{3} x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} v^{4} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.9.2

Factoriza $v^{3}$ de $v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} (x)} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.9.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{v^{3} x} (v^{3} v) = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.9.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.10

Combina $\frac{- 2}{x}$ y $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- \frac{v^{4}}{3})$

Paso 7.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1.1.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{v^{4}}{3}$ al numerador.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

Paso 7.1.1.3.1.2

Factoriza $3$ de $3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 ({(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}) \frac{- v^{4}}{3}$

Paso 7.1.1.3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = 3 {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} \frac{- v^{4}}{3}$

Paso 7.1.1.3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} (- v^{4})$

Paso 7.1.1.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1.1.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - {(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}} v^{4}$

Paso 7.1.1.3.2.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{- 3})}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 7.1.1.3.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 3 (\frac{4}{3})} v^{4}$

Paso 7.1.1.3.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 (- 1) \frac{4}{3}} v^{4}$

Paso 7.1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{3 \cdot - 1 \frac{4}{3}} v^{4}$

Paso 7.1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 1 \cdot 4} v^{4}$

Paso 7.1.1.3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{- 4} v^{4}$

Paso 7.1.1.3.3

Multiplica $v^{- 4}$ por $v^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1.3.3.1

Mueve $v^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - (v^{4} v^{- 4})$

Paso 7.1.1.3.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{4 - 4}$

Paso 7.1.1.3.3.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - v^{0}$

Paso 7.1.1.3.4

Simplifica $- v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1$

Paso 7.1.2

Factoriza $v$ de $- \frac{2 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 1$

Paso 7.1.3

Reordena $v$ y $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 1$

Paso 7.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Paso 7.2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 7.2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Paso 7.2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 7.2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 7.2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 7.2.2.5

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 7.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 7.2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 7.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 7.2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Paso 7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Paso 7.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Paso 7.3.2.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Paso 7.3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

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Paso 7.3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 v}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Paso 7.3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 7.3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Paso 7.3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Paso 7.3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1$

Paso 7.3.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 1}{x^{2}}$

Paso 7.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{1}{x^{2}}$

Paso 7.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.7.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 7.7.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.7.2.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 7.7.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 7.7.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 7.7.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int x^{- 2} d x$

Paso 7.7.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - (- x^{- 1} + C)$

Paso 7.7.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.7.4.1

Reescribe $- (- x^{- 1} + C)$ como $- - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - - \frac{1}{x} + C$

Paso 7.7.4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.7.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 1 \frac{1}{x} + C$

Paso 7.7.4.2.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{1}{x} + C$

Paso 7.8

Resuelve $v$

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Paso 7.8.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 7.8.1.1

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} = C$

Paso 7.8.1.2

Resta $C$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{1}{x} - C = 0$

Paso 7.8.1.3

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{1}{x} - C = 0$

Paso 7.8.2

Mueve todos los términos que no contengan $v$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.8.2.1

Suma $\frac{1}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{1}{x}$

Paso 7.8.2.2

Suma $C$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} + C$

Paso 7.8.3

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4

Simplifica.

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Paso 7.8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 7.8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$v = (\frac{1}{x} + C) x^{2}$

Paso 7.8.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.8.4.2.1

Simplifica $(\frac{1}{x} + C) x^{2}$ .

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Paso 7.8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{1}{x} x^{2} + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.8.4.2.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$v = \frac{1}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$v = x + C x^{2}$

Paso 7.8.4.2.1.3

Reordena $x$ y $C x^{2}$ .

$v = C x^{2} + x$

Paso 8

Sustituye $y^{- \frac{1}{3}}$ por $v$ .

$y^{- \frac{1}{3}} = C x^{2} + x$