Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{y}{x + y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x + y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{y}{x + y}$ por $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{(x + y) \frac{1}{x^{1}}}$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x^{1}} + y \frac{1}{x^{1}}}$

Paso 1.4

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x^{1}}}$

Paso 1.5

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x^{1}}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Paso 1.6

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Paso 1.7

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Paso 1.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.8.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.8.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x \frac{1}{x} + y \frac{1}{x}}$

Paso 1.8.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + y \frac{1}{x}}$

Paso 1.8.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y}{x}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} - V \cdot \frac{1 + V}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.2.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{1 + V}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V} + \frac{- V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.2.3.4.1

Factoriza $V$ de $V - V (1 + V)$ .

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Paso 6.1.1.2.3.4.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.1.2

Factoriza $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.1.3

Factoriza $V$ de $- V (1 + V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.1.4

Factoriza $V$ de $V \cdot 1 + V (- (1 + V))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V))}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.5

Resta $V$ de $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6

Combina exponentes.

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Paso 6.1.1.2.3.4.6.1

Factoriza el negativo.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6.2

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V)}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6.3

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{1})}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 1}}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2}}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2}}{1 + V}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{V^{2}}{1 + V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{x (1 + V)}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1 + V}{V^{2}}$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{1 + V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $\frac{V^{2}}{1 + V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $1 + V$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1 + V}{V^{2}}$ al numerador.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V)}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Paso 6.1.4.3.2

Factoriza $1 + V$ de $- (1 + V)$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Paso 6.1.4.3.3

Factoriza $1 + V$ de $(1 + V) x$ .

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) (x)}$

Paso 6.1.4.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) \cdot - 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(1 + V) x}$

Paso 6.1.4.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Paso 6.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 + V}{V^{2}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 + V}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1

Mueve $V^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 + V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (1 + V) V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $(1 + V) V^{- 2}$ .

$\int 1 V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.1

Multiplica $V^{- 2}$ por $1$ .

$\int V^{- 2} + V \cdot V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $V$ por $V^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.3.2.1

Multiplica $V$ por $V^{- 2}$ .

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Paso 6.2.2.3.2.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\int V^{- 2} + V^{1} V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 2} + V^{1 - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int V^{- 2} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $V^{- 2}$ con respecto a $V$ es $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

La integral de $V^{- 1}$ con respecto a $V$ es $\ln (| V |)$ .

$- V^{- 1} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Simplifica.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{V} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $- \frac{1}{\frac{y}{x}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Paso 8.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Paso 8.3

Multiplica $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Paso 8.3.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{y}{x}$ y $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Paso 8.4.2

Divide $y$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{y}{x}} + C$

Paso 8.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x}{y}) + C$

Paso 8.5.2

Multiplica $\frac{x}{y}$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x}{y} + C$