Cálculo Ejemplos

$8 y \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$8 y d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 8 y d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Dado que $8$ es constante con respecto a $y$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int y d y = \int x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.1

Reescribe $8 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ como $8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$8 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.1

Combina $8$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.3.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Divide cada término en $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Divide cada término en $4 y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$ por $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.3.1.3

Combinar.

$y^{2} = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K}{4}$

Paso 3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}$

Paso 3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$

Paso 3.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Para escribir $\frac{K}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K}{4} \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.3.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Multiplica $\frac{K}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{4 \cdot 2}}$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{8} + \frac{K \cdot 2}{8}}$

Paso 3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + K \cdot 2}{8}}$

Paso 3.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{8}}$

Paso 3.3.5

Reescribe $\frac{x^{2} + 2 K}{8}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x^{2} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{8}}$

Paso 3.3.5.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $8$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.5.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (x^{2} + 2 K)}{2^{2} \cdot 2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Paso 3.3.6

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$

Paso 3.3.7

Reescribe $\sqrt{\frac{x^{2} + 2 K}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.3.8

Combinar.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.3.9

Multiplica $\sqrt{x^{2} + 2 K}$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$

Paso 3.3.10

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.3.11

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.11.1

Multiplica $\frac{\sqrt{x^{2} + 2 K}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.3.11.2

Mueve $\sqrt{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Paso 3.3.11.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Paso 3.3.11.4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Paso 3.3.11.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.11.6

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.3.11.7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.11.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.11.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.11.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.11.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.11.7.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.11.7.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 3.3.11.7.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + 2 K} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.12

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.13

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.13.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$

Paso 3.3.13.2

Reordena los factores en $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + 2 K) \cdot 2}}{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + 2 K)}}{4}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} + K)}}{4}$