Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - \frac{9}{\sin (y)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza.

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Paso 1.1.1

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Paso 1.1.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (\frac{9}{1} \csc (y))$

Paso 1.1.3

Divide $9$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - (9 \csc (y))$

Paso 1.1.4

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Paso 1.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.1

Separa las fracciones.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)} - 9 \csc (y)$

Paso 1.1.5.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (y)}$ a $\csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} \csc (y) - 9 \csc (y)$

Paso 1.1.5.3

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x \csc (y) - 9 \csc (y)$

Paso 1.1.6

Factoriza $\csc (y)$ de $x \csc (y) - 9 \csc (y)$ .

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Paso 1.1.6.1

Factoriza $\csc (y)$ de $x \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x - 9 \csc (y)$

Paso 1.1.6.2

Factoriza $\csc (y)$ de $- 9 \csc (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$

Paso 1.1.6.3

Factoriza $\csc (y)$ de $\csc (y) x + \csc (y) \cdot - 9$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (y) (x - 9)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $\csc (y)$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\csc (y)} (\csc (y) (x - 9))$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d x} = x - 9$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = (x - 9) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int x - 9 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe $\csc (y)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int x - 9 d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\sin (y)$ por $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int x - 9 d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int x - 9 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$- \cos (y) + C_{1} = \int x d x + \int - 9 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 9 d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 9 x + C_{3}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$- \cos (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- \cos (y) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 x + K$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Divide $\cos (y)$ por $1$ .

$\cos (y) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\cos (y) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ como $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\cos (y) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 9 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 9 x}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot (- 9 x)$ como $- (- 9 x)$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 9 x) + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.6

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x + \frac{K}{- 1}$

Paso 3.1.3.1.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - 1 \cdot K$

Paso 3.1.3.1.8

Reescribe $- 1 \cdot K$ como $- K$ .

$\cos (y) = - \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K$

Paso 3.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del coseno.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x - K)$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \arccos (- \frac{x^{2}}{2} + 9 x + K)$