Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 8$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{4}}$ con respecto a $x$ es $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $3 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ como $3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$y + C_{1} = 12 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $8$ por $y$ en $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ .

$8 = 12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$ .

$12 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 8$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$12 \cdot 1 + K = 8$

Paso 4.2.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 + K = 8$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 8 - 12$

Paso 4.3.2

Resta $12$ de $8$ .

$K = - 4$

Paso 5

Sustituye $- 4$ por $K$ en $y = 12 x^{\frac{1}{4}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 4$ por $K$ .

$y = 12 x^{\frac{1}{4}} - 4$