Cálculo Ejemplos

$\frac{2 x}{y} d x - \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Paso 1

Resta $\frac{2 x}{y} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = - \frac{2 x}{y} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} (- \frac{x^{2}}{y^{2}}) d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y^{2}} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3.2.3

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y \cdot y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3.3.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y}{x^{2}} (- \frac{2 x}{y}) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{x^{2}}$ al numerador.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- y}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Paso 3.5.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Paso 3.5.3

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{y \cdot - 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{y} d x$

Paso 3.5.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) d x$

Paso 3.6.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Paso 3.6.3

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) d x$

Paso 3.6.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x} \cdot 2 d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{- 1}{x}$ y $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 1 \cdot 2}{x} d x$

Paso 3.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Paso 3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$- \ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Paso 5.2.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$- \ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Paso 5.3

Resta $\ln (x^{2})$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$

Paso 5.4

Divide cada término en $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $- \ln (| y |) = C - \ln (x^{2})$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Paso 5.4.2.2

Divide $\ln (| y |)$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Paso 5.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (x^{2})}{- 1}$

Paso 5.4.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (x^{2})}{1}$

Paso 5.4.3.1.4

Divide $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (x^{2})$

Paso 5.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = - C$

Paso 5.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$

Paso 5.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{- C}$

Paso 5.8

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

Paso 5.9

Resuelve $y$

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Paso 5.9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{- C}$

Paso 5.9.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Paso 5.9.3

Simplifica.

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Paso 5.9.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 5.9.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{- C} x^{2}$

Paso 5.9.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{- C} x^{2}$

Paso 5.9.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.9.3.2.1

Reordena los factores en $e^{- C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{- C}$

Paso 5.9.4

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{- C}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm x^{2} C$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C x^{2}$