Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + x y = \frac{x}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - x y$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $\frac{x}{y} - x y$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} - x y$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $x$ de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \frac{1}{y} + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - 1 y)$

Paso 1.2.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y)$

Paso 1.2.3

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} - y \cdot \frac{y}{y})$

Paso 1.2.4

Combina $- y$ y $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{y} + \frac{- y \cdot y}{y})$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 - y \cdot y}{y}$

Paso 1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y \cdot y}{y}$

Paso 1.2.6.2

Reescribe $y \cdot y$ como $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1^{2} - y^{2}}{y}$

Paso 1.2.6.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} (x \frac{(1 + y) (1 - y)}{y})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combina $x$ y $\frac{(1 + y) (1 - y)}{y}$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{x ((1 + y) (1 - y))}{y}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} (x ((1 + y) (1 - y)))$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $(1 + y) (1 - y)$ .

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Paso 1.4.3.1

Factoriza $(1 + y) (1 - y)$ de $x ((1 + y) (1 - y))$ .

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) (x))$

Paso 1.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} ((1 + y) (1 - y) x)$

Paso 1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = (1 + y) (1 - y)$ . Entonces $d u = - 2 y d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = (1 + y) (1 - y)$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = 1 + y$ y $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3.6.3

Reescribe $- 1 (1 + y)$ como $- (1 + y)$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.1.1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.2.1.1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Paso 2.2.1.1.3.9

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.1.1.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.11

Multiplica $1 - y$ por $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Paso 2.2.1.1.4

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Paso 2.2.1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.2.1.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Paso 2.2.1.1.4.2.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$- y + 0 - y$

Paso 2.2.1.1.4.2.3

Suma $- y$ y $0$ .

$- y - y$

Paso 2.2.1.1.4.2.4

Resta $y$ de $- y$ .

$- 2 y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int x d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int x d x$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Paso 2.2.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int x d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 + y) (1 - y)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + y) (1 - y) |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Expande $(1 + y) (1 - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.2.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.2

Multiplica $- y$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y + y (- y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.1.2.1.5.1

Mueve $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.1.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y + y - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Suma $- y$ y $y$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y^{2} |)) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.3

Combina $\ln (| 1 - y^{2} |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 1 - y^{2} |)}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{2} |)}{2} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.5

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.5.2

Multiplica $\ln (| 1 - y^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - 2 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2} - 2 C$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - y^{2} |)} = e^{- x^{2} - 2 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 1 - y^{2} |) = - x^{2} - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - 2 C} = | 1 - y^{2} |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$ .

$| 1 - y^{2} | = e^{- x^{2} - 2 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C}$

Paso 3.5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $- y^{2} = \pm e^{- x^{2} - 2 C} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.4.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm e^{- x^{2} - 2 C}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ como $- (\pm e^{- x^{2} - 2 C})$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.5.4.3.1.3

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1$

Paso 3.5.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} - 2 C}) + 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2} + C}) + 1}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- x^{2} + C}$ como $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 1}$

Paso 4.3

Reordena $e^{- x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 1}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{- (C e^{- x^{2}}) + 1}$