Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - 15 x^{2} = 20$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $15 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = 20 + 15 x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (20 + 15 x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 20 + 15 x^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 20 + 15 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 20 d x + \int 15 x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + \int 15 x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $15$ es constante con respecto a $x$ , mueve $15$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + 15 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 20 x + C_{2} + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Simplifica.

$y + C_{1} = 20 x + 15 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Combina $15$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{15}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2

Cancela el factor común de $15$ y $3$ .

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Paso 2.3.5.2.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.5.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = 20 x + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 20 x + \frac{5}{1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.5.2.2.2.4

Divide $5$ por $1$ .

$y + C_{1} = 20 x + 5 x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 5 x^{3} + 20 x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 5 x^{3} + 20 x + K$