Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} - 20 t^{4} e^{- y} = 0$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Suma $20 t^{4} e^{- y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d t} = 20 t^{4} e^{- y}$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (20 t^{4} e^{- y})$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 20 \frac{1}{e^{- y}} (t^{4} e^{- y})$

Paso 1.3.2

Combina $20$ y $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (t^{4} e^{- y})$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $e^{- y}$ de $t^{4} e^{- y}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (e^{- y} t^{4})$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{20}{e^{- y}} (e^{- y} t^{4})$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = 20 t^{4}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = 20 t^{4} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 20 t^{4} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 20 t^{4} d t$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 20 t^{4} d t$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 20 t^{4} d t$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 20 t^{4} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $20$ es constante con respecto a $t$ , mueve $20$ fuera de la integral.

$e^{y} + C_{1} = 20 \int t^{4} d t$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{4}$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = 20 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $20 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{2})$ como $20 (\frac{1}{5}) t^{5} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 20 (\frac{1}{5}) t^{5} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $20$ y $\frac{1}{5}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{20}{5} t^{5} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5} t^{5} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5 (1)} t^{5} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$e^{y} + C_{1} = \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} t^{5} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$e^{y} + C_{1} = \frac{4}{1} t^{5} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$e^{y} + C_{1} = 4 t^{5} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = 4 t^{5} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (4 t^{5} + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (4 t^{5} + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (4 t^{5} + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (4 t^{5} + K)$