Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3 x}{y})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3 x}{y}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3 x}{y}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3 x}{y}$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = - (3 x)$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y \frac{d y}{d x} = - 3 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y d y = - 3 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int - 3 x d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - 3 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $- 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{- 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2} x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{3}{2} x^{2} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{3 x^{2}}{2} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 x^{2}}{2}$ al numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 x^{2}}{2} + 2 K$

Paso 3.2.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = - 3 x^{2} + 2 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- 3 x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- 3 x^{2} + K}$