Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 y - 4 x$

Paso 1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 2 y = - 4 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 2$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 2 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 2 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 2 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} (- 4 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = - 4 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = - 4 x e^{- 2 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = - 4 x e^{- 2 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 2 x} y = \int - 4 x e^{- 2 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 \int x e^{- 2 x} d x$

Paso 7.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 7.3.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Paso 7.3.3

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 7.5

Simplifica.

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Paso 7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 7.5.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Paso 7.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Paso 7.7

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.7.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.7.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 7.7.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 7.7.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 7.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Paso 7.8

Simplifica.

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Paso 7.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Paso 7.8.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Paso 7.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Paso 7.10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Paso 7.11

Simplifica.

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Paso 7.11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Paso 7.11.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 7.12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Paso 7.13

Simplifica.

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Paso 7.13.1

Reescribe $- 4 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $- 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2

Simplifica.

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Paso 7.13.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.2

Combina $e^{- 2 x}$ y $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Paso 7.13.2.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Paso 7.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 7.15

Simplifica.

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Paso 7.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- 2 x} y = - 4 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 7.15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.15.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ al numerador.

$e^{- 2 x} y = - 4 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 7.15.2.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (- 2) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 7.15.2.3

Cancela el factor común.

$e^{- 2 x} y = 2 \cdot - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 7.15.2.4

Reescribe la expresión.

$e^{- 2 x} y = - 2 (- e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 7.15.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Paso 7.15.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.15.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ al numerador.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - 4 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Paso 7.15.4.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Paso 7.15.4.3

Cancela el factor común.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 4 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Paso 7.15.4.4

Reescribe la expresión.

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) - - e^{- 2 x} + C$

Paso 7.15.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + 1 e^{- 2 x} + C$

Paso 7.15.6

Multiplica $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$e^{- 2 x} y = 2 (e^{- 2 x} x) + e^{- 2 x} + C$

Paso 7.15.7

Reordena los factores en $2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ por $e^{- 2 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- 2 x} y = 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + C$ por $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- 2 x}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 x e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{- 2 x}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 2 x + \frac{e^{- 2 x}}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Paso 8.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 x + 1 + \frac{C}{e^{- 2 x}}$