Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 5 y + y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{5 y + y^{2}}$ .

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + y^{2}} (5 y + y^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $5 y + y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + y^{2}} (5 y + y^{2})$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{5 y + y^{2}} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{5 y + y^{2}} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.2.1.1.1

Factoriza $y$ de $5 y + y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1.1

Factoriza $y$ de $5 y$ .

$\frac{1}{y \cdot 5 + y^{2}}$

Paso 2.2.1.1.1.2

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot 5 + y \cdot y}$

Paso 2.2.1.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 5 + y \cdot y$ .

$\frac{1}{y \cdot (5 + y)}$

Paso 2.2.1.1.1.4

Multiplica $y$ por $5 + y$ .

$\frac{1}{y (5 + y)}$

Paso 2.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $y (5 + y)$ .

$\frac{1 (y (5 + y))}{y (5 + y)} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (y (5 + y))}{y (5 + y)} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (5 + y)}{5 + y} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.5

Cancela el factor común de $5 + y$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (5 + y)}{5 + y} = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (y (5 + y))}{y} + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.6.1.2

Divide $A (5 + y)$ por $1$ .

$1 = A (5 + y) + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 5 + A y + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.6.3

Mueve $5$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 5 \cdot A + A y + \frac{(B) (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.6.4

Cancela el factor común de $5 + y$ .

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Paso 2.2.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$1 = 5 A + A y + \frac{B (y (5 + y))}{5 + y}$

Paso 2.2.1.1.6.4.2

Divide $(B) (y)$ por $1$ .

$1 = 5 A + A y + (B) (y)$

$1 = 5 A + A y + B y$

Paso 2.2.1.1.7

Mueve $5 A$ .

$1 = A y + B y + 5 A$

Paso 2.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 5 A$

Paso 2.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$1 = 5 A$

$0 = A + B$

$1 = 5 A$

Paso 2.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = 5 A$ .

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Paso 2.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $5 A = 1$ .

$5 A = 1$

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.3.1.2

Divide cada término en $5 A = 1$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.3.1.2.1

Divide cada término en $5 A = 1$ por $5$ .

$\frac{5 A}{5} = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.3.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.3.1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.1.3.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 A}{5} = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.3.1.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = A + B$

Paso 2.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A + B$ por $\frac{1}{5}$ .

$0 = (\frac{1}{5}) + B$

$A = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

$0 = \frac{1}{5} + B$

$A = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = \frac{1}{5} + B$ .

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Paso 2.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{5} + B = 0$ .

$\frac{1}{5} + B = 0$

$A = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.3.3.2

Resta $\frac{1}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{1}{5}$

$B = - \frac{1}{5}$

$A = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{1}{5} A = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{1}{5}, A = \frac{1}{5}$

Paso 2.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{y} + \frac{B}{5 + y}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{5}}{y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Paso 2.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{5 y} + \frac{- \frac{1}{5}}{5 + y}$

Paso 2.2.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{5 y} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5 + y}$

Paso 2.2.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{5 + y}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5 y} - \frac{1}{(5 + y) \cdot 5}$

Paso 2.2.1.5.5

Mueve $5$ a la izquierda de $5 + y$ .

$\int \frac{1}{5 y} - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{5 y} d y + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{y} d y + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) + \int - \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Paso 2.2.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \int \frac{1}{5 (5 + y)} d y = \int d x$

Paso 2.2.6

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{5 + y} d y) = \int d x$

Paso 2.2.7

Sea $u = 5 + y$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.7.1

Deja $u = 5 + y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.7.1.1

Diferencia $5 + y$ .

$\frac{d}{d y} [5 + y]$

Paso 2.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [5] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.7.1.3

Como $5$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.7.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.7.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Paso 2.2.8

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| y |) + C_{1}) - \frac{1}{5} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Paso 2.2.9

Simplifica.

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.2.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 + y$ .

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) + C_{3} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) + C_{3} = x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{5} \ln (| y |) - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) = x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $\ln (| y |)$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{1}{5} \ln (| 5 + y |) = x + C$

Paso 3.1.1.2

Combina $\ln (| 5 + y |)$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$ por $5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| y |)}{5} - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} = x + C$ por $5$ .

$\frac{\ln (| y |)}{5} \cdot 5 - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (| y |)}{5} \cdot 5 - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 5 + y |)}{5}$ al numerador.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + \frac{- \ln (| 5 + y |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = 5 \cdot x + C \cdot 5$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| y |) - \ln (| 5 + y |) = 5 x + 5 C$

Paso 3.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |}) = 5 x + 5 C$

Paso 3.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |})} = e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| 5 + y |}) = 5 x + 5 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 5 C} = \frac{| y |}{| 5 + y |}$

Paso 3.6

Resuelve $y$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| 5 + y |} = e^{5 x + 5 C}$ .

$\frac{| y |}{| 5 + y |} = e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.2

Multiplica ambos lados por $| 5 + y |$ .

$\frac{| y |}{| 5 + y |} | 5 + y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Paso 3.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.1

Cancela el factor común de $| 5 + y |$ .

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Paso 3.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| 5 + y |} | 5 + y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Paso 3.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{5 x + 5 C} | 5 + y |$

Paso 3.6.4

Resuelve $y$

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Paso 3.6.4.1

Reescribe la ecuación como $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ .

$e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$

Paso 3.6.4.2

Divide cada término en $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ por $e^{5 x + 5 C}$ y simplifica.

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Paso 3.6.4.2.1

Divide cada término en $e^{5 x + 5 C} | 5 + y | = | y |$ por $e^{5 x + 5 C}$ .

$\frac{e^{5 x + 5 C} | 5 + y |}{e^{5 x + 5 C}} = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Paso 3.6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{5 x + 5 C}$ .

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Paso 3.6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{5 x + 5 C} | 5 + y |}{e^{5 x + 5 C}} = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Paso 3.6.4.2.2.1.2

Divide $| 5 + y |$ por $1$ .

$| 5 + y | = \frac{| y |}{e^{5 x + 5 C}}$

Paso 3.6.4.3

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$- (5 + y) = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$- (5 + y) = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

Paso 3.6.4.4

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

$5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$

Paso 3.6.4.5

Resuelve $5 + y = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ en $y$ .

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Paso 3.6.4.5.1

Multiplica ambos lados por $e^{5 x + 5 C}$ .

$(5 + y) e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.5.2

Simplifica.

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Paso 3.6.4.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.4.5.2.1.1

Simplifica $(5 + y) e^{5 x + 5 C}$ .

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Paso 3.6.4.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 e^{5 x + 5 C} + y e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.5.2.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 3.6.4.5.2.1.1.2.1

Reordena $5 x$ y $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 x + 5 C} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.5.2.1.1.2.2

Reordena $5 x$ y $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.5.2.1.1.2.3

Reordena $5 e^{5 C + 5 x}$ y $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{5 x + 5 C}$ .

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Paso 3.6.4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = y$

Paso 3.6.4.5.3

Resuelve $y$

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Paso 3.6.4.5.3.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} - y = 0$

Paso 3.6.4.5.3.2

Resta $5 e^{5 C + 5 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$y e^{5 C + 5 x} - y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.5.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{5 C + 5 x} - y$ .

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Paso 3.6.4.5.3.3.1

Factoriza $y$ de $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} - y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.5.3.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y \cdot - 1 = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.5.3.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{5 C + 5 x} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.5.3.4

Divide cada término en $y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ por $e^{5 C + 5 x} - 1$ y simplifica.

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Paso 3.6.4.5.3.4.1

Divide cada término en $y (e^{5 C + 5 x} - 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ por $e^{5 C + 5 x} - 1$ .

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} - 1)}{e^{5 C + 5 x} - 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Paso 3.6.4.5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.4.5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{5 C + 5 x} - 1$ .

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Paso 3.6.4.5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} - 1)}{e^{5 C + 5 x} - 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Paso 3.6.4.5.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Paso 3.6.4.5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.5.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

Paso 3.6.4.6

Resuelve $5 + y = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ en $y$ .

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Paso 3.6.4.6.1

Multiplica ambos lados por $e^{5 x + 5 C}$ .

$(5 + y) e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.6.2

Simplifica.

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Paso 3.6.4.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.4.6.2.1.1

Simplifica $(5 + y) e^{5 x + 5 C}$ .

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Paso 3.6.4.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 e^{5 x + 5 C} + y e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.6.2.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 3.6.4.6.2.1.1.2.1

Reordena $5 x$ y $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 x + 5 C} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.6.2.1.1.2.2

Reordena $5 x$ y $5 C$ .

$5 e^{5 C + 5 x} + y e^{5 C + 5 x} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.6.2.1.1.2.3

Reordena $5 e^{5 C + 5 x}$ y $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = - \frac{y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.6.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{5 x + 5 C}$ .

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Paso 3.6.4.6.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{e^{5 x + 5 C}}$ al numerador.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{- y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.6.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = \frac{- y}{e^{5 x + 5 C}} e^{5 x + 5 C}$

Paso 3.6.4.6.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} = - y$

Paso 3.6.4.6.3

Resuelve $y$

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Paso 3.6.4.6.3.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$y e^{5 C + 5 x} + 5 e^{5 C + 5 x} + y = 0$

Paso 3.6.4.6.3.2

Resta $5 e^{5 C + 5 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.6.3.3

Factoriza $y$ de $y e^{5 C + 5 x} + y$ .

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Paso 3.6.4.6.3.3.1

Factoriza $y$ de $y e^{5 C + 5 x}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.6.3.3.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.6.3.3.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y e^{5 C + 5 x} + y \cdot 1 = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.6.3.3.4

Factoriza $y$ de $y e^{5 C + 5 x} + y \cdot 1$ .

$y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$

Paso 3.6.4.6.3.4

Divide cada término en $y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ por $e^{5 C + 5 x} + 1$ y simplifica.

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Paso 3.6.4.6.3.4.1

Divide cada término en $y (e^{5 C + 5 x} + 1) = - 5 e^{5 C + 5 x}$ por $e^{5 C + 5 x} + 1$ .

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} + 1)}{e^{5 C + 5 x} + 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Paso 3.6.4.6.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.4.6.3.4.2.1

Cancela el factor común de $e^{5 C + 5 x} + 1$ .

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Paso 3.6.4.6.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (e^{5 C + 5 x} + 1)}{e^{5 C + 5 x} + 1} = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Paso 3.6.4.6.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Paso 3.6.4.6.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.4.6.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Paso 3.6.4.7

Enumera todas las soluciones.

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{5 C + 5 x}}{e^{5 C + 5 x} + 1}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Paso 4.2

Reordena los términos.

$y = - \frac{5 e^{5 x + C}}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Paso 4.3

Reescribe $e^{5 x + C}$ como $e^{5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{5 x} e^{C})}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Paso 4.4

Reordena $e^{5 x}$ y $e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{C + 5 x} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Paso 4.5

Reordena los términos.

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{5 x + C} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Paso 4.6

Reescribe $e^{5 x + C}$ como $e^{5 x} e^{C}$ .

$y = - \frac{5 (e^{C} e^{5 x})}{e^{5 x} e^{C} - 1}$

$y = - \frac{5 e^{C + 5 x}}{e^{C + 5 x} + 1}$

Paso 4.7

Reordena $e^{5 x}$ y $e^{C}$ .