Cálculo Ejemplos

$(x^{3} + x y^{2} - y) d x + (y^{3} + x^{2} y - x) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{3} + x y^{2} - y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} + x y^{2} - y]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + x y^{2} - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.2.2

Como $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{3}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y^{2}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - 1 \cdot 1$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 x y - 1$

Paso 1.5

Suma $0$ y $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y^{3} + x^{2} y - x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} + x^{2} y - x]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{3} + x^{2} y - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2.2

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 y x - 1$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Suma $0$ y $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x - 1$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 x y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x y - 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 2 x y - 1$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x y - 1 = 2 x y - 1$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + x y^{2} - y d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = x^{3} + x y^{2} - y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x + \int - y d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x y^{2} d x + \int - y d x$

Paso 5.3

Dado que $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} \int x d x + \int - y d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - y d x$

Paso 5.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - y x + C$

Paso 5.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - y x + C$

Paso 5.7

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + C$

Paso 5.8

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.2

Diferencia.

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Paso 8.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.2.2

Como $\frac{1}{4} x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.3.5

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.3.6

Combina $\frac{2 x^{2}}{2}$ y $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.7.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.3.7.2

Divide $x^{2} y$ por $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y x]$ .

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Paso 8.4.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x^{2} y - x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + x^{2} y - x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 + x^{2} y - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y - x + \frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Suma $0$ y $x^{2} y$ .

$x^{2} y - x + \frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 8.6.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y - x = y^{3} + x^{2} y - x$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - x = y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y$

Paso 9.1.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y + x$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $y^{3} + x^{2} y - x - x^{2} y + x$ .

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Paso 9.1.3.1

Resta $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} - x + 0 + x$

Paso 9.1.3.2

Suma $y^{3} - x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} - x + x$

Paso 9.1.3.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $y^{3}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

Paso 10.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 12.3

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 12.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} - y x + \frac{y^{4}}{4} + C$