Cálculo Ejemplos

$(y + x) d y = (x - y) d x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $(x - y) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(y + x) d y - (x - y) d x = 0$

Paso 1.2

Reescribe.

$- (x - y) d x + (y + x) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - (x - y)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (x - y)$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 2.4

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.7

Multiplica.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.7.2

Multiplica $\frac{d}{d y} [y]$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y + x$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + x]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1$

Paso 3.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Paso 4.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$1 = 1$ es una identidad.

Paso 5

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

Paso 6

Integra $M (x, y) = - (x - y)$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

Paso 6.2

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

Paso 6.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

Paso 6.6

Simplifica.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

Paso 7

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

Paso 8

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + x$

Paso 9

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 9.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = y + x$

Paso 9.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = y + x$

Paso 9.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

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Paso 9.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{2}}{2} - y x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3.4

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y x$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3.7

Resta $x$ de $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.3.9

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Paso 9.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = y + x$

Paso 9.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x = y + x$

Paso 10

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 10.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = y + x - x$

Paso 10.1.2

Combina los términos opuestos en $y + x - x$ .

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Paso 10.1.2.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Paso 10.1.2.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Paso 11

Obtén la antiderivada de $y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 11.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Paso 11.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Paso 11.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 13

Simplifica cada término.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 13.3

Multiplica $- (- y x)$ .

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Paso 13.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 13.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 13.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$