Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{2}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

Paso 3.4

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

Paso 3.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

Paso 3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

Paso 3.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.3.1

Reescribe $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

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Paso 7.3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Paso 7.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Paso 7.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$x^{2} y = x^{4} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{2} y = x^{4} + C$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{2} y = x^{4} + C$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Paso 8.3.1.2.4

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$