Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + (\frac{2 x + 1}{x}) y = e^{- 2 x}$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{2 x + 1}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{2 x + 1}{x} d x}$

Paso 1.2

Integra $\frac{2 x + 1}{x}$ .

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Paso 1.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int \frac{2 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$e^{\int \frac{2 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$e^{\int 2 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.4

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.5

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{2 x + C + \ln (| x |) + C}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

$e^{2 x + \ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x + \ln (x)}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x + \ln (x)}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} ((\frac{2 x + 1}{x}) y) = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{2 x + 1}{x}$ y $y$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{2 x + \ln (x)} \frac{(2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.2.2

Combina $e^{2 x + \ln (x)}$ y $\frac{(2 x + 1) y}{x}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.3

Para escribir $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $e^{2 x + \ln (x)}$ de $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $e^{2 x + \ln (x)}$ de $e^{2 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $e^{2 x + \ln (x)}$ de $e^{2 x + \ln (x)} (2 x + 1) y$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $e^{2 x + \ln (x)}$ de $e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{2 x + \ln (x)} ((2 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (2 x + 1) y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + 1 y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.5.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x)} e^{- 2 x}$

Paso 2.6

Multiplica $e^{2 x + \ln (x)}$ por $e^{- 2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{2 x + \ln (x) - 2 x}$

Paso 2.6.2

Combina los términos opuestos en $2 x + \ln (x) - 2 x$ .

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Paso 2.6.2.1

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{0 + \ln (x)}$

Paso 2.6.2.2

Suma $0$ y $\ln (x)$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = e^{\ln (x)}$

Paso 2.7

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$

Paso 2.8

Reordena los factores en $\frac{e^{2 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 2 x y + y)}{x} = x$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 2 x y + y)}{x} = x$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] = x$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x + \ln (x)} y] d x = \int x d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x + \ln (x)} y = \int x d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $e^{2 x + \ln (x)}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{2 x + \ln (x)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ por $e^{2 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x + \ln (x)}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x + \ln (x)} y}{e^{2 x + \ln (x)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Paso 7.3.1.3

Combinar.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$

Paso 7.3.1.4

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{2 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{2 x + \ln (x)}}$