Cálculo Ejemplos

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ de ambos lados de la ecuación.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{y} + 2 x y - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.4

Como $e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{y}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.6

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 3.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

Paso 3.11

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

Paso 3.12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

Paso 3.12.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

Paso 3.12.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 y + 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y + 2$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = - 2 y + 2$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $- 2 y + 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $y$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

Paso 5.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

Paso 5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

Paso 5.3.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

Paso 5.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

Paso 5.3.6

Reescribe $- (2 y - 1)$ como $- 1 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

Paso 5.3.7

Sustituye $y$ por $M$ .

$- \frac{2 y - 1}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Paso 6.2

Divide $2 y - 1$ por $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$0$

$2 y$

$1$

Paso 6.2.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 y$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

Paso 6.2.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

Paso 6.2.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 y + 0$ .

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

Paso 6.2.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

Paso 6.2.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

Paso 6.3

Divide la única integral en varias integrales.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.4

Aplica la regla de la constante.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.6

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Paso 6.7

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ por el factor integrador $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $y$ por $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ por $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Paso 7.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Paso 7.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Paso 7.6

Multiplica $e^{y}$ por $e^{- 2 y + \ln (y)}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.6.1

Mueve $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Paso 7.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Paso 7.6.3

Suma $- 2 y$ y $y$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 y + \ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.7

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.3.10

Multiplica $e^{- 2 y + \ln (y)}$ por $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.3.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.3.3.1

Factoriza $y$ de $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.3.4

Elimina los paréntesis.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.4

Suma $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ y $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 12.5.5

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 13.1.2

Combina los términos opuestos en $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.2.1

Suma $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ y $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 13.1.2.2

Suma $2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ y $0$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 13.1.2.3

Resta $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ de $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 13.1.2.4

Suma $0$ y $e^{- y + \ln (y)}$ .

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Paso 13.1.3

Como $\frac{d g}{d y}$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Paso 13.1.4

Divide cada término en $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.1

Divide cada término en $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Paso 13.1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Paso 13.1.4.2.2

Divide $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Paso 13.1.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.4.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

Paso 13.1.4.3.2

Reescribe $- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ como $- e^{- y + \ln (y)}$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- e^{- y + \ln (y)}$ y obtén $g (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Paso 14.4

Reescribe $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ como $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Paso 14.5

Reescribe $e^{\ln (y)}$ como $y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

Paso 14.6

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Paso 14.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Paso 14.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Paso 14.8.2

Multiplica $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Paso 14.9

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.9.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.9.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 14.9.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 14.9.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 14.9.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 14.9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 14.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Paso 14.11

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Paso 14.12

Reescribe $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ como $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Paso 14.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Paso 14.14

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Paso 14.14.2

Multiplica $- (- y e^{- y})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.14.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Paso 14.14.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Paso 14.14.3

Multiplica $- - e^{- y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.14.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Paso 14.14.3.2

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Paso 16

Reordena los factores en $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$