Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = e^{3 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Paso 2.3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $4$ por $y$ en $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

Paso 4.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

Paso 4.2.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Paso 4.3.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 4.3.3

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Paso 4.3.5.2

Resta $1$ de $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Paso 5

Sustituye $\frac{11}{3}$ por $K$ en $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{11}{3}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$