Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 2 y} \cos (x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1 - 2 y}{y}$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} (\frac{y}{1 - 2 y} \cos (x))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Combina $\frac{y}{1 - 2 y}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $1 - 2 y$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Paso 1.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $y$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Paso 1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Paso 1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 - 2 y}{y} d y = \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 - 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.3.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$\ln (| y |) - 2 y + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2.7

Reordena los términos.

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 2 y + \ln (| y |) = \sin (x) + C$