Cálculo Ejemplos

$(x + 4 y^{2}) d y + 2 (y d) x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x + 4 y^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 4 y^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Paso 3.4

Como $4 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Paso 3.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 = 1$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - 2}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $2 y$ por $M$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $2 y$ por $M$ .

$\frac{1 - 2}{2 y}$

Paso 5.3.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2 y}$

Paso 5.3.3

Sustituye $2 y$ por $M$ .

$- \frac{1}{2 y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{2 y} d y}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 y} d y}$

Paso 6.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 6.3

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Paso 6.4

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{2} \ln (| y |)} + C$

Paso 6.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.5.1

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (| y |)$ .

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Paso 6.5.1.1

Reordena $\ln (| y |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{1}{2} \ln (| y |))} + C$

Paso 6.5.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| y |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})} + C$

Paso 6.5.2

Simplifica $- \ln ({| y |}^{\frac{1}{2}})$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})} + C$

Paso 6.5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} + C$

Paso 6.5.4

Multiplica los exponentes en ${({| y |}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.5.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} + C$

Paso 6.5.4.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 1}{2}} + C$

Paso 6.5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 6.5.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $2 y d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $2 y$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2

Multiplica $2 y \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 7.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$y \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.2.2

Combina $y$ y $\frac{2}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{y^{\frac{1}{2}}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.3

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y \cdot 2 y^{- \frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.1

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.4.2

Multiplica $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Paso 7.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{- \frac{1}{2}} y^{1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.4.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} \cdot 2 d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) d y = 0$

Paso 7.6

Multiplica $x + 4 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + (x + 4 y^{2}) \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Paso 7.7

Multiplica $x + 4 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} d x + \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y^{\frac{1}{2}} x]$ .

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Paso 12.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{\frac{1}{2}} x$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$2 x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.9

Combina $2$ y $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x \frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.10

Combina $x$ y $\frac{2 y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x (2 y^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.11

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x y^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.12

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.13

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.3.14

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1.1

Simplifica $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{x + 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

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Paso 13.1.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + 4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - (4 y^{2})}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 13.1.1.3.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2

Resta $4 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 y^{2}}{y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.4.1

Mueve $y^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{2} y^{- \frac{1}{2}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.4.2.1

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 (y^{- \frac{1}{2}} y^{2}) = 0$

Paso 13.1.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2} = 0$

Paso 13.1.1.4.2.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1.4.2.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{- 1 + 4}{2}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{\frac{3}{2}} = 0$

Paso 13.1.2

Suma $4 y^{\frac{3}{2}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $4 y^{\frac{3}{2}}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 14.3

Dado que $4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$g (y) = 4 \int y^{\frac{3}{2}} d y$

Paso 14.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $y$ es $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$

Paso 14.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 14.5.1

Reescribe $4 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C)$ como $4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{2}{5}) y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 14.5.2

Simplifica.

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Paso 14.5.2.1

Combina $4$ y $\frac{2}{5}$ .

$g (y) = \frac{4 \cdot 2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 14.5.2.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$g (y) = \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$

Paso 16

Simplifica $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8}{5} y^{\frac{5}{2}} + C$ .

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Paso 16.1

Combina $\frac{8}{5}$ y $y^{\frac{5}{2}}$ .

$f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Paso 16.2

Reordena los factores en $f (x, y) = 2 y^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$f (x, y) = 2 x y^{\frac{1}{2}} + \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C$