Cálculo Ejemplos

$(\cos (x) \sin (x) - x y^{2}) d x + y (1 - x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x) - x y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) \sin (x) - x y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Paso 1.2.2

Como $\cos (x) \sin (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\cos (x) \sin (x)$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $y$ es $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Paso 1.4

Resta $2 x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (1 - x^{2})]$

Paso 2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y (1 - x^{2})$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- (2 x))$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (- 2 x)$

Paso 2.8.2

Reordena los factores de $y (- 2 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- 2 x y = - 2 x y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (1 - x^{2}) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = y (1 - x^{2})$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $1 - x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $1 - x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \int y d y$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 5.3

Reescribe $(1 - x^{2}) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.2

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(1 - x^{2}) \frac{y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (0 - 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.8

Resta $2 x$ de $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.9

Combina $- 2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.10

Combina $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ y $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.11

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 8.3.11.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.3.11.2.4

Divide $- y^{2} x$ por $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = \cos (x) \sin (x) - x y^{2}$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $y^{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$

Paso 9.1.2

Combina los términos opuestos en $\cos (x) \sin (x) - x y^{2} + y^{2} x$ .

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Paso 9.1.2.1

Reordena los factores en los términos $- x y^{2}$ y $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) - y^{2} x + y^{2} x$

Paso 9.1.2.2

Suma $- y^{2} x$ y $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x) + 0$

Paso 9.1.2.3

Suma $\cos (x) \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $\cos (x) \sin (x)$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) \sin (x) d x$

Paso 10.3

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.3.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.3.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 10.3.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 10.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$g (x) = \int - u d u$

Paso 10.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int u d u$

Paso 10.5

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Paso 10.6

Reescribe $- (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 10.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (1 - x^{2}) \frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = (1 (\frac{1}{2}) - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 12.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - x^{2} \frac{1}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 12.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = (\frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2}) y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 12.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 12.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 12.6

Combina $y^{2}$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cos^{2} (x) + C$

Paso 12.7

Combina $\cos^{2} (x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} - \frac{\cos^{2} (x)}{2} + C$