Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 3 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $- \frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 3 x^{2}$

Paso 1.2

Reordena $y$ y $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 3 x^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $- \frac{2}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 2}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Paso 3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{2}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Paso 3.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $\frac{2 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Paso 3.2.4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (3 x^{2})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3 \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 3.4

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} x^{2}$

Paso 3.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3}{x^{2}} x^{2}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = 3$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = 3$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int 3 d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int 3 d x$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{x^{2}} y = 3 x + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = 3 x + C$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (3 x + C) x^{2}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (3 x + C) x^{2}$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (3 x + C) x^{2}$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Simplifica $(3 x + C) x^{2}$ .

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Paso 8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 3 x \cdot x^{2} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 8.3.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$y = 3 (x^{2} x) + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 8.3.2.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = 3 (x^{2} x^{1}) + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 3 x^{2 + 1} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$y = 3 x^{3} + C x^{2}$

Paso 8.3.2.1.3

Reordena $3 x^{3}$ y $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + 3 x^{3}$