Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 1.4

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Paso 1.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int 4 x d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$x y = 4 \int x d x$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 5.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1

Reescribe $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$x y = 2 x^{2} + C$

Paso 6

Divide cada término en $x y = 2 x^{2} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $x y = 2 x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 6.3.1.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Paso 6.3.1.2.5

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

Paso 7

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $8$ por $y$ en $y = 2 x + \frac{C}{x}$ .

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

Paso 8

Resuelve $C$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ .

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 8$

Paso 8.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$2 + C = 8$

Paso 8.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 8 - 2$

Paso 8.3.2

Resta $2$ de $8$ .

$C = 6$

Paso 9

Sustituye $6$ por $C$ en $y = 2 x + \frac{C}{x}$ y simplifica.

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Paso 9.1

Sustituye $6$ por $C$ .

$y = 2 x + \frac{6}{x}$