Cálculo Ejemplos

$4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Divide cada término en $4 x \frac{d y}{d x} - y = 3 x^{2}$ por $4 x$ .

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x \frac{d y}{d x}}{4 x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Paso 1.3.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x^{2}}{4 x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{4 x}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{x (3 x)}{x \cdot 4}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3 x}{4}$

Paso 1.5

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Paso 1.6

Factoriza $y$ de $\frac{- y}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{4 x} = \frac{3}{4} x$

Paso 1.7

Reordena $y$ y $\frac{- 1}{4 x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{4 x} y = \frac{3}{4} x$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{- 1}{4 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 1}{4 x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{- 1}{4 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{\int - \frac{1}{4 x} d x}$

Paso 2.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{4 x} d x}$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \frac{1}{4} \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{4}})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- \frac{1}{4}}$

Paso 2.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{- 1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{1}{4 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.4

Combina $\frac{1}{4 x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.5

Multiplica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{y}{4 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Multiplica $\frac{y}{4 x}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x \cdot x^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.5.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.5.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{4}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 (x^{\frac{1}{4}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.5.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.5.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{1 + 4}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.2.5.2.5

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} (\frac{3}{4} x)$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} x$

Paso 3.4

Combinar.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 \cdot 1}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Paso 3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}} x$

Paso 3.6

Combina $\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ y $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Paso 3.7

Mueve $x^{\frac{1}{4}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Paso 3.8

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Mueve $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x)}{4}$

Paso 3.8.2

Multiplica $x^{- \frac{1}{4}}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 (x^{- \frac{1}{4}} x^{1})}{4}$

Paso 3.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + 1}}{4}$

Paso 3.8.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}}}{4}$

Paso 3.8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{- 1 + 4}{4}}}{4}$

Paso 3.8.5

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{4}}} - \frac{y}{4 x^{\frac{5}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] = \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y] d x = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \int \frac{3 x^{\frac{3}{4}}}{4} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \int x^{\frac{3}{4}} d x$

Paso 7.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{3}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$

Paso 7.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Reescribe $\frac{3}{4} (\frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C)$ como $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 7.3.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{7}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{12}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 7.3.2.4

Cancela el factor común de $12$ y $28$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 (3)}{28} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 7.3.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.4.2.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 7.3.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 7.3.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} y = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Combina $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ y $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{7} x^{\frac{7}{4}} + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{3}{7}$ y $x^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C$

Paso 8.3

Multiplica ambos lados por $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{4}}} x^{\frac{1}{4}} = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.1

Simplifica $(\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} + C) x^{\frac{1}{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}} + C x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4.2.1.2

Multiplica $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7} x^{\frac{1}{4}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.1.2.1

Combina $\frac{3 x^{\frac{7}{4}}}{7}$ y $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{7}{4}} x^{\frac{1}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4.2.1.2.2

Multiplica $x^{\frac{7}{4}}$ por $x^{\frac{1}{4}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.2.1.2.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{3 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{7}{4}})}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{3 x^{\frac{1}{4} + \frac{7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4.2.1.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 x^{\frac{1 + 7}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4.2.1.2.2.4

Suma $1$ y $7$ .

$y = \frac{3 x^{\frac{8}{4}}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$

Paso 8.4.2.1.2.2.5

Divide $8$ por $4$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{7} + C x^{\frac{1}{4}}$