Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} = x + y$

Paso 1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d x}{d y} - x = y$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (y) d y}$ , donde $P (y) = - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d y}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- y + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- y}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- y}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- y}$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} + e^{- y} (- x) = e^{- y} y$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$

Paso 3.3

Reordena los factores en $e^{- y} \frac{d x}{d y} - e^{- y} x = e^{- y} y$ .

$e^{- y} \frac{d x}{d y} - x e^{- y} = y e^{- y}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] = y e^{- y}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d y} [e^{- y} x] d y = \int y e^{- y} d y$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- y} x = \int y e^{- y} d y$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- y}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y$

Paso 7.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y$

Paso 7.3.2

Multiplica $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y$

Paso 7.4

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.4.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 7.4.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 7.4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 7.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u$

Paso 7.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u$

Paso 7.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- y} x = y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$

Paso 7.7

Reescribe $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C)$ como $- y e^{- y} - e^{u} + C$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{u} + C$

Paso 7.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ por $e^{- y}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- y} x = - y e^{- y} - e^{- y} + C$ por $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- y} x}{e^{- y}} = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- y e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $- y$ por $1$ .

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = - y + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}} + \frac{C}{e^{- y}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$x = - y - 1 + \frac{C}{e^{- y}}$