Cálculo Ejemplos

$\frac{d z}{d t} = - 6 e^{t + z}$

Paso 1

Sea $v = e^{t + z}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $e^{t + z}$ .

$\frac{d z}{d t} = - 6 v$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d t}$ mediante la diferenciación de $e^{t + z}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = e^{t}$ y $g (t) = t + z$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $t + z$ .

$\frac{d v}{d t} = \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [t + z]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [t + z]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $t + z$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{t + z} \frac{d}{d t} [t + z]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + z$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [z]$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{t + z} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [z])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{t + z} (1 + \frac{d}{d t} [z])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d t} [z]$ como $z'$ .

$\frac{d v}{d t} = e^{t + z} (1 + z')$

Paso 3

Sustituye $v$ por $e^{t + z}$ .

$\frac{d v}{d t} = v (1 + z')$

Paso 4

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} - 1 = - 6 v$

Paso 5

Separa las variables.

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Paso 5.1

Resuelve $\frac{d v}{d t}$

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Paso 5.1.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} = - 6 v + 1$

Paso 5.1.2

Multiplica ambos lados por $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (- 6 v + 1) v$

Paso 5.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.3.1.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.1.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d t}}{v} v = (- 6 v + 1) v$

Paso 5.1.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d t} = (- 6 v + 1) v$

Paso 5.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.2.1

Simplifica $(- 6 v + 1) v$ .

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Paso 5.1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d t} = - 6 v \cdot v + 1 v$

Paso 5.1.3.2.1.2

Multiplica $v$ por $v$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.3.2.1.2.1

Mueve $v$ .

$\frac{d v}{d t} = - 6 (v \cdot v) + 1 v$

Paso 5.1.3.2.1.2.2

Multiplica $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d t} = - 6 v^{2} + 1 v$

Paso 5.1.3.2.1.3

Multiplica $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d t} = - 6 v^{2} + v$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- 6 v^{2} + v}$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{- 6 v^{2} + v} (- 6 v^{2} + v)$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Factoriza $v$ de $- 6 v^{2} + v$ .

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Paso 5.3.1.1

Factoriza $v$ de $- 6 v^{2}$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v (- 6 v) + v} (- 6 v^{2} + v)$

Paso 5.3.1.2

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v (- 6 v) + v^{1}} (- 6 v^{2} + v)$

Paso 5.3.1.3

Factoriza $v$ de $v^{1}$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v (- 6 v) + v \cdot 1} (- 6 v^{2} + v)$

Paso 5.3.1.4

Factoriza $v$ de $v (- 6 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{1}{v (- 6 v + 1)} (- 6 v^{2} + v)$

Paso 5.3.2

Multiplica $\frac{1}{v (- 6 v + 1)}$ por $- 6 v^{2} + v$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{- 6 v^{2} + v}{v (- 6 v + 1)}$

Paso 5.3.3

Factoriza $v$ de $- 6 v^{2} + v$ .

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $v$ de $- 6 v^{2}$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{v (- 6 v) + v}{v (- 6 v + 1)}$

Paso 5.3.3.2

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{v (- 6 v) + v^{1}}{v (- 6 v + 1)}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $v$ de $v^{1}$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{v (- 6 v) + v \cdot 1}{v (- 6 v + 1)}$

Paso 5.3.3.4

Factoriza $v$ de $v (- 6 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{v (- 6 v + 1)}{v (- 6 v + 1)}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{v (- 6 v + 1)}{v (- 6 v + 1)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{- 6 v + 1}{- 6 v + 1}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $- 6 v + 1$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = \frac{- 6 v + 1}{- 6 v + 1}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} \frac{d v}{d t} = 1$

Paso 5.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- 6 v^{2} + v} d v = 1 d t$

Paso 6

Integra ambos lados.

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Paso 6.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- 6 v^{2} + v} d v = \int d t$

Paso 6.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 6.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 6.2.1.1.1

Factoriza $v$ de $- 6 v^{2} + v$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Factoriza $v$ de $- 6 v^{2}$ .

$\frac{1}{v (- 6 v) + v}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Eleva $v$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{v (- 6 v) + v^{1}}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Factoriza $v$ de $v^{1}$ .

$\frac{1}{v (- 6 v) + v \cdot 1}$

Paso 6.2.1.1.1.4

Factoriza $v$ de $v (- 6 v) + v \cdot 1$ .

$\frac{1}{v (- 6 v + 1)}$

Paso 6.2.1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $v (- 6 v + 1)$ .

$\frac{1 (v (- 6 v + 1))}{v (- 6 v + 1)} = \frac{A (v (- 6 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.4

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (v (- 6 v + 1))}{v (- 6 v + 1)} = \frac{A (v (- 6 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (- 6 v + 1)}{- 6 v + 1} = \frac{A (v (- 6 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.5

Cancela el factor común de $- 6 v + 1$ .

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Paso 6.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (- 6 v + 1)}{- 6 v + 1} = \frac{A (v (- 6 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (v (- 6 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $v$ .

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Paso 6.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (v (- 6 v + 1))}{v} + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6.1.2

Divide $A (- 6 v + 1)$ por $1$ .

$1 = A (- 6 v + 1) + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A (- 6 v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = - 6 A v + A \cdot 1 + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6.4

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = - 6 A v + A + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6.5

Cancela el factor común de $- 6 v + 1$ .

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Paso 6.2.1.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = - 6 A v + A + \frac{B (v (- 6 v + 1))}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.1.6.5.2

Divide $B v$ por $1$ .

$1 = - 6 A v + A + B v$

Paso 6.2.1.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = - 6 v A + A + B v$

Paso 6.2.1.1.7.2

Reordena $B$ y $v$ .

$1 = - 6 v A + A + B v$

Paso 6.2.1.1.7.3

Mueve $A$ .

$1 = - 6 v A + B v + A$

Paso 6.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $v$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 6 A + B$

Paso 6.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $v$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 6.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 6 A + B$

$1 = A$

$0 = - 6 A + B$

$1 = A$

Paso 6.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 6.2.1.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 6 A + B$

Paso 6.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 6.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 6 A + B$ por $1$ .

$0 = - 6 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Paso 6.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.2.2.1

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$0 = - 6 + B$

$A = 1$

$0 = - 6 + B$

$A = 1$

$0 = - 6 + B$

$A = 1$

Paso 6.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 6 + B$ .

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Paso 6.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 6 + B = 0$ .

$- 6 + B = 0$

$A = 1$

Paso 6.2.1.3.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 6$

$A = 1$

$B = 6$

$A = 1$

Paso 6.2.1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 6 A = 1$

Paso 6.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 6, A = 1$

Paso 6.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{v} + \frac{B}{- 6 v + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{6}{- 6 v + 1}$

Paso 6.2.1.5

Simplifica.

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Paso 6.2.1.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 6 v$ .

$\frac{1}{v} + \frac{6}{- (6 v) + 1}$

Paso 6.2.1.5.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{6}{- (6 v) - 1 \cdot - 1}$

Paso 6.2.1.5.3

Factoriza $- 1$ de $- (6 v) - 1 (- 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{6}{- (6 v - 1)}$

Paso 6.2.1.5.4

Reescribe los negativos.

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Paso 6.2.1.5.4.1

Reescribe $- (6 v - 1)$ como $- 1 (6 v - 1)$ .

$\frac{1}{v} + \frac{6}{- 1 (6 v - 1)}$

Paso 6.2.1.5.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{v} - \frac{6}{6 v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{v} d v + \int - \frac{6}{6 v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{v}$ con respecto a $v$ es $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \int - \frac{6}{6 v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $v$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{6}{6 v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.5

Dado que $6$ es constante con respecto a $v$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - (6 \int \frac{1}{6 v - 1} d v) = \int d t$

Paso 6.2.6

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 6 \int \frac{1}{6 v - 1} d v = \int d t$

Paso 6.2.7

Sea $u_{2} = 6 v - 1$ . Entonces $d u_{2} = 6 d v$ , de modo que $\frac{1}{6} d u_{2} = d v$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.2.7.1

Deja $u_{2} = 6 v - 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

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Paso 6.2.7.1.1

Diferencia $6 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [6 v - 1]$

Paso 6.2.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 v - 1$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [6 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [6 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.7.1.3

Evalúa $\frac{d}{d v} [6 v]$ .

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Paso 6.2.7.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $6 v$ con respecto a $v$ es $6 \frac{d}{d v} [v]$ .

$6 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.7.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.7.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Paso 6.2.7.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 6.2.7.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$6 + 0$

Paso 6.2.7.1.4.2

Suma $6$ y $0$ .

$6$

Paso 6.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 6 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{6} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.8

Simplifica.

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Paso 6.2.8.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 6 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 6} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.8.2

Mueve $6$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - 6 \int \frac{1}{6 u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.9

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\ln (| v |) + C_{1} - 6 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int d t$

Paso 6.2.10

Simplifica.

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Paso 6.2.10.1

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 6$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 6}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.10.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 6.2.10.2.1

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{6 \cdot - 1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.10.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.10.2.2.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{6 \cdot - 1}{6 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.10.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.10.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| v |) + C_{1} + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.10.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Paso 6.2.11

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Paso 6.2.12

Simplifica.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Paso 6.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = t + C_{4}$

Paso 6.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| v |) - \ln (| u_{2} |) = t + C$

Paso 7

Resuelve $v$

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Paso 7.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = t + C$

Paso 7.2

Reordena $t$ y $C$ .

$\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + t$

Paso 7.3

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |})} = e^{C + t}$

Paso 7.4

Reescribe $\ln (\frac{| v |}{| u_{2} |}) = C + t$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C + t} = \frac{| v |}{| u_{2} |}$

Paso 7.5

Resuelve $v$

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Paso 7.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + t}$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} = e^{C + t}$

Paso 7.5.2

Multiplica ambos lados por $| u_{2} |$ .

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + t} | u_{2} |$

Paso 7.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.5.3.1

Cancela el factor común de $| u_{2} |$ .

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Paso 7.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| v |}{| u_{2} |} | u_{2} | = e^{C + t} | u_{2} |$

Paso 7.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| v | = e^{C + t} | u_{2} |$

Paso 7.5.4

Resuelve $v$

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Paso 7.5.4.1

Reordena los factores en $e^{C + t} | u_{2} |$ .

$| v | = | u_{2} | e^{C + t}$

Paso 7.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$v = \pm | u_{2} | e^{C + t}$

Paso 8

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 8.1

Reordena los términos.

$v = \pm | u_{2} | e^{t + C}$

Paso 8.2

Reescribe $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{t} e^{C})$

Paso 8.3

Reordena $e^{t}$ y $e^{C}$ .

$v = \pm | u_{2} | (e^{C} e^{t})$

Paso 8.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = C | u_{2} | e^{t}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $e^{t + z}$ .

$e^{t + z} = C | u_{2} | e^{t}$

Paso 10

Resuelve $z$

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Paso 10.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{t + z}) = \ln (C | u_{2} | e^{t})$

Paso 10.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Expande $\ln (e^{t + z})$ ; para ello, mueve $t + z$ fuera del logaritmo.

$(t + z) \ln (e) = \ln (C | u_{2} | e^{t})$

Paso 10.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(t + z) \cdot 1 = \ln (C | u_{2} | e^{t})$

Paso 10.2.3

Multiplica $t + z$ por $1$ .

$t + z = \ln (C | u_{2} | e^{t})$

Paso 10.3

Expande el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Reescribe $\ln (C | u_{2} | e^{t})$ como $\ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{t})$ .

$t + z = \ln (C | u_{2} |) + \ln (e^{t})$

Paso 10.3.2

Reescribe $\ln (C | u_{2} |)$ como $\ln (C) + \ln (| u_{2} |)$ .

$t + z = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + \ln (e^{t})$

Paso 10.3.3

Expande $\ln (e^{t})$ ; para ello, mueve $t$ fuera del logaritmo.

$t + z = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + t \ln (e)$

Paso 10.3.4

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$t + z = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + t \cdot 1$

Paso 10.3.5

Multiplica $t$ por $1$ .

$t + z = \ln (C) + \ln (| u_{2} |) + t$

Paso 10.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.4.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$t + z = \ln (C | u_{2} |) + t$

Paso 10.5

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.5.1

Resta $t$ de ambos lados de la ecuación.

$z = \ln (C | u_{2} |) + t - t$

Paso 10.5.2

Combina los términos opuestos en $\ln (C | u_{2} |) + t - t$ .

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Paso 10.5.2.1

Resta $t$ de $t$ .

$z = \ln (C | u_{2} |) + 0$

Paso 10.5.2.2

Suma $\ln (C | u_{2} |)$ y $0$ .

$z = \ln (C | u_{2} |)$