Cálculo Ejemplos

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Simplifica el lado izquierdo.

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Paso 1.1.2

Resta $e^{- y} \sec (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ por $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ por $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $\frac{d y}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.2.3

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.2.3.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$1 = \frac{e^{- y} \sec (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.2

Separa las fracciones.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.3

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.4

Reescribe $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como un producto.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Paso 1.1.3.3.5

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.5.2

Combinar.

$1 = \frac{e^{- y} \cdot 1}{\frac{d y}{d x} (\cos (x) \cos (x))}$

Paso 1.1.3.3.5.3

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos (x) \cos (x)}$

Paso 1.1.3.3.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.6.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos (x))}$

Paso 1.1.3.3.6.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}$

Paso 1.1.3.3.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Paso 1.1.3.3.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}$

Paso 1.1.3.3.7

Multiplica por $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Paso 1.1.3.3.8

Separa las fracciones.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.1.3.3.9

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \sec^{2} (x)$

Paso 1.1.3.3.10

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \sec^{2} (x)$

Paso 1.1.3.3.11

Combina $\frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}}$ y $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}}$

Paso 1.1.4

Reescribe la ecuación como $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$

Paso 1.1.5

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.5.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$\frac{d y}{d x}, 1$

Paso 1.1.5.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$\frac{d y}{d x}$

Paso 1.1.6

Multiplica cada término en $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ por $\frac{d y}{d x}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.1

Multiplica cada término en $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Paso 1.1.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.2.1

Cancela el factor común de $\frac{d y}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Paso 1.1.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{- y} \sec^{2} (x) = 1 \frac{d y}{d x}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.6.3.1

Multiplica $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$e^{- y} \sec^{2} (x) = \frac{d y}{d x}$

Paso 1.1.7

Reescribe la ecuación como $\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Factoriza $e^{- y}$ de $e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec^{2} (x)))$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{- y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.1.2.1.2

Multiplica $- y \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.2.2

La integral de $e^{y}$ con respecto a $y$ es $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Paso 2.3

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$e^{y} = \tan (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\tan (x) + K)$

Paso 3.2

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\tan (x) + K)$

Paso 3.2.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\tan (x) + K)$

Paso 3.2.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (\tan (x) + K)$