Cálculo Ejemplos

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - 4 (x + y^{6})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 4 (x + y^{6})]$

Paso 2.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 (x + y^{6})$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y^{6}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Paso 2.5

Como $y^{6}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{6}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + 0)$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \cdot 1$

Paso 2.6.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 4$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 4$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = - 4$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 4$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 - 1}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y$ por $M$ .

$\frac{- 4 - 1}{y}$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de $- 4$ .

$\frac{- 5}{y}$

Paso 4.3.3

Sustituye $y$ por $M$ .

$- \frac{5}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Paso 5.2

Dado que $5$ es constante con respecto a $y$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Paso 5.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Paso 5.6

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.1

Simplifica $- 5 \ln (| y |)$ al mover $- 5$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Paso 5.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Paso 5.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y^{5}}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y \frac{1}{y^{5}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $y$ de $y^{5}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $- 4 (x + y^{6})$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y^{4}} d x + (- 4 x - 4 y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $- 4 x - 4 y^{6}$ por $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{- 4 x - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.6

Factoriza $4$ de $- 4 x - 4 y^{6}$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.6.2

Factoriza $4$ de $- 4 y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) + 4 (- y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.6.3

Factoriza $4$ de $4 (- x) + 4 (- y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.7

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.8

Factoriza $- 1$ de $- y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - (y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.9

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.10

Reescribe $- (x + y^{6})$ como $- 1 (x + y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- 1 (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Paso 6.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y^{4}} d x - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{4}} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \frac{1}{y^{4}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} x + C$

Paso 8.2

Combina $\frac{1}{y^{4}}$ y $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}} + g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x}{y^{4}} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{x}{y^{4}}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\frac{1}{y^{4}}$ como ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{- 1}$ y $g (y) = y^{4}$ .

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Paso 11.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y^{4}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{4}$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.5

Multiplica los exponentes en ${(y^{4})}^{- 2}$ .

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Paso 11.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$x (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.7

Multiplica $y^{- 8}$ por $y^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.7.1

Mueve $y^{3}$ .

$x (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.3.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.5

Simplifica.

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Paso 11.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.5.2

Combina los términos.

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Paso 11.5.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.5.2.3

Combina $x$ y $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.5.2.4

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 11.5.3

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1.1

Suma $\frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Paso 12.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Paso 12.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 x + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Paso 12.1.1.4

Suma $- 4 x$ y $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Paso 12.1.1.5

Suma $0$ y $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Paso 12.1.1.6

Cancela el factor común de $y^{6}$ y $y^{5}$ .

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Paso 12.1.1.6.1

Factoriza $y^{5}$ de $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5}} = 0$

Paso 12.1.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.1.1.6.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Paso 12.1.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Paso 12.1.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y}{1} = 0$

Paso 12.1.1.6.2.4

Divide $4 y$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 4 y = 0$

Paso 12.1.2

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- 4 y$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 4 y d y$

Paso 13.3

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$g (y) = - 4 \int y d y$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 13.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.5.1

Reescribe $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Paso 13.5.2

Simplifica.

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Paso 13.5.2.1

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 4}{2} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 13.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (y) = \frac{- 2}{1} y^{2} + C$

Paso 13.5.2.2.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$g (y) = - 2 y^{2} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} - 2 y^{2} + C$