Cálculo Ejemplos

$x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ por $x^{2} y$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ por $x^{2} y$ .

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Combinar.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \cdot 1}{y x^{2}}$

Paso 1.4.2

Combinar.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} (x^{2})}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} x^{2}}$

Paso 1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Niega el exponente de $e^{y}$ y quítalo del denominador.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = y$ y $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $\int e^{- y} d y$ por $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.5.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.2.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.2.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.8

Reescribe $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ como $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.2.10

Reordena los términos.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reescribe $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - \frac{1}{x} + K$