Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - 8 x + 3 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (- 8 x + 3 x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - 8 x + 3 x^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - 8 x + 3 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int - 8 x d x + \int 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 8 \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $- 8$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 4 x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.6.2.4.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = - 4 x^{2} + 1 x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.5

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 4 x^{2} + x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{1} = x^{3} - 4 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = x^{3} - 4 x^{2} + K$