Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y^{2} + 1}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x}{y^{2} + 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x}{y^{2} + 1}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(y^{2} + 1) d y = x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x d x$

Paso 2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{2} x^{2} + K$