Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - 10 x + 9 x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (- 10 x + 9 x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - 10 x + 9 x^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - 10 x + 9 x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int - 10 x d x + \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 10$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 10 \int x d x + \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 9 x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int x^{2} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = - 10 (\frac{1}{2}) x^{2} + 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $- 10$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 10}{2} x^{2} + 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 5}{2} x^{2} + 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} x^{2} + 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} x^{2} + 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{- 5}{1} x^{2} + 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 5 x^{2} + 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Combina $9$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - 5 x^{2} + \frac{9}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 2.3.6.2.4.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y + C_{1} = - 5 x^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = - 5 x^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = - 5 x^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = - 5 x^{2} + \frac{3}{1} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 5 x^{2} + 3 x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{1} = 3 x^{3} - 5 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 3 x^{3} - 5 x^{2} + K$